Kratownica

Najprostszym przypadkiem kratownicy jest układ trzech prętów połączonych ze sobą za pomocą trzech węzłów przegubowych:

Kiedy układ statyczny nazywamy kratownicą

Aby układ statyczny można nazwać kratownicą obciążenia mogą być do niego przyłożone wyłącznie w węzłach. 

Jeżeli spotkamy się z sytuacją, że do pręta obustronnie zakończonego przegubem mamy przyłożone obciążenie pomiędzy węzłami to nie możemy takiego elementu traktować jako część kratownicy.

Konsekwencją wszystkich powyższych zasad dotyczących ustrojów kratowych jest fakt, że siły wewnętrzne występujące w kratownicach to wyłącznie siły normalne (osiowe). 

Jeśli nie możemy przykładać sił (obciążeń) do prętów kratownicy nigdzie poza węzłami oraz wiemy, że wszystkie węzły są przegubowe (moment w przegubie zawsze jest równy zero), to wykres momentów gnących z całą pewnością będzie równy zero, a co za tym idzie - również wykres sił tnących.

Elementy składowe kratownicy:

1. Pas górny
2. Pas dolny
3. Słupek
4. Krzyżulec

Kratownica przestrzenna

Do tej pory omówiliśmy układy prętowe, które zostały sprowadzone do dwuwymiarowego (płaskiego) układu współrzędnych. 

Jak zatem będą wyglądać w układzie trójwymiarowymi (przestrzennym)? 

Podobnie jak w przypadku płaskim, kratownica przestrzenna składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach za pośrednictwem przegubów:

Siły wewnętrzne w prętach kratownicy

Wiemy już, że w kratownicy występują wyłącznie siły osiowe (normalne). 

Jest kilka metod służących do obliczania sił wewnętrznych w prętach kratownicy. 

Omówione zostaną dwie najpopularniejsze z nich:

1. metoda równoważenia węzłów
2. metoda Rittera

Są to metody alternatywne i każda z nich powinna dawać identyczne wyniki w obliczeniach. 

Pręty ściskane i rozciągane

Wyobraźmy sobie, że mamy dany pręt obciążony dwoma siłami, które go ściskają. Aby wyznaczyć wartości sił wewnętrznych w pręcie kratownicy rozcinamy go myślowo.

Następnie po dokonaniu przekroju zaznaczamy siły wewnętrzne. 

Pręt jest poddany ściskaniu przez siły zewnętrzne. Zgodnie z III zasadą dynamiki ściskany pręt stawia opór a więc siły wewnętrzne przeciwdziałają temu ściskaniu. 

Zgodnie z powyższym zwroty sił wewnętrznych będą musiały być przeciwne do zwrotów sił zewnętrznych.

Teraz rozważmy pręt rozciągany siłami zewnętrznymi. Znowu dokonujemy myślowego przekroju pręta.

Następnie zaznaczamy siły wewnętrzne, których zwroty również muszą być przeciwne do zwrotów sił zewnętrznych aby zachodziła równowaga pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi.

Metoda równoważenia węzłów

Metoda to polega na wycinaniu poszczególnych węzłów kratowych a następnie obliczaniu sił w prętach przy wykorzystaniu dwóch równań tj. sumy rzutów sił na oś X i na oś Y. 

Przekroju dokonujemy nieskończenie blisko węzła. Zwroty sił wewnętrznych zaznaczamy od przekroju (jak siły rozciągające). Jeśli z naszych obliczeń wyjdzie że siła jest ujemna to będzie oznaczało, że pręt jest ściskany.

Teraz wykorzystując równania rzutów sił na oś x i y możemy obliczyć siły w prętach.

Metoda Rittera

Metoda Rittera polega na przecięciu kratownicy płaszczyzną tnącą.

Po przecięciu prętów płaszczyzną, zaznaczamy w każdym przeciętym pręcie siłę wewnętrzną. Po oznaczeniu sił wewnętrznych możemy podzielić kratownice na część lewą i prawą.

Metoda Rittera daje nam możliwość użycia aż sześciu równań do obliczania sił w prętach:

\(\sum F_x^L=0\ ,\ \sum F_x^P=0\ \\\sum F_y^L=0\ ,\ \sum F_y^P=0 \\\sum M_i^L=0\ ,\ \sum M_i^P=0\)

Wykorzystując równowagę pomiędzy siłami wewnętrznymi w zewnętrznymi możemy obliczać sumy rzutów sił na oś x i y zarówno po lewej jak i po prawej stronie przekroju.

Podobnie z sumą momentów w dowolnym punkcie, możemy liczyć ją po stronie lewej jak i po stronie prawej przekroju.

Przykład: Zadanie nr 1

Obliczyć reakcje podporowe w kratownicy o schemacie statycznym przedstawionym na rysunku.

1. W pierwszym kroku zastępujemy podpory odpowiednimi dla nich reakcjami podporowymi.

   

2. Następnie ustalamy sposób znakowania.

   Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.

   

3. Teraz zapisujemy równanie sumy rzutów sił równoległych do osi x.

   Szukamy na naszej kratownicy sił, które są równoległe do osi x.

   Jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem osi x przyjętego na wstępie układu współrzędnych, siłę znakujemy w równaniu jako dodatnią, jeśli zwrot jest przeciwny do zwrotu osi siłę znakujemy jako ujemną:

   \(\sum F_{x}=0\Rightarrow\ 4kN+H_{D}=0 \\H_{D}=-4kN\)

   Z powyższego równania wyznaczyliśmy reakcje H D, której wartość wyszła ujemna, co oznacza, że wektor HD działa z przeciwnym zwrotem.

   Powyższe oznaczamy na rysunku poprzez skreślenie założonego zwrotu, wrysowanie nowego oraz wpisanie wartości bezwzględnej reakcji na rysunku.

   Znak ujemny przy obliczaniu wartości wektora reakcji zastępujemy zmianą zwrotu wektora na rysunku. Stąd też na rysunku wpisujemy wartość bezwzględną reakcji z właściwym (uprzednio zmienionym) zwrotem.

   

4. Następnie zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie D aby obliczyć reakcję V_F.

   Wybieramy punkt D ponieważ odległość reakcji V_D od punktu D jest równa zero a co za tym idzie moment względem punktu D tej reakcji będzie również równy zero. 

   Dzięki temu otrzymamy równanie z jedną niewiadomą.  Na tym etapie, nie ma sensu zapisywać równania sumy rzutów sił na os Y ponieważ będą w nim występowały dwie niewiadome.

   \(\sum M_{D}=0\Rightarrow\ 4kN\times4m+10 kN\times3m-V_{F}\times6m=0 \\V_{F}\times6m=-46kNm/\div6m \\V_{F}=7,67kN\)

   Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych? Kliknij tutaj

   Na rysunku zaznaczamy obliczoną wartość reakcji. Nie zmieniamy założonego zwrotu reakcji ponieważ obliczona wartość reakcji V _F jest dodatnia.

   

5. Zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie F aby obliczyć reakcje V_D.

   Nie korzystamy z sumy rzutów sił na oś Y ponieważ w przypadku gdyby wyliczona wartość reakcji V _F była błędna, będziemy kontynuować błąd i wartość reakcji V_D również będzie błędna. 

   Licząc moment w punkcie F, odległość reakcji V _F od punktu F jest równa zero, a co za tym idzie nie będzie tworzyć w tym punkcie momentu.

   Obliczymy zatem reakcje V_D zupełnie niezależnie od wcześniej obliczonej reakcji V_F:

   \(\sum M_{F}=0\Rightarrow\ 4kN\times4m-10 kN\times3m+V_{D}\times6m=0 \\V_{D}\times6m=14kNm/\div6m \\V_{D}=2,33kN \)

   Na rysunku zaznaczamy obliczoną wartość reakcji. Nie zmieniamy założonego zwrotu reakcji ponieważ obliczona wartość reakcji V _F jest dodatnia.

   

6. Wykonujemy sprawdzenie poprawności obliczeń.

   Aby sprawdzenie było reprezentatywne powinniśmy wykorzystać takie równanie, którego jeszcze nie używaliśmy do obliczania żadnej z reakcji.

   Wykorzystamy równanie sumy rzutów sił na oś Y, jeśli suma wszystkich sił pionowych będzie równa zero to znaczy że układ statyczny jest w równowadze a co za tym idzie obliczone wartości reakcji są właściwe. 

   Szukamy sił równoległych do osi Y i jeśli mają zwrot zgodny ze zwrotem osi dodajemy, jeśli ujemny odejmujemy.

   \(\sum\ F_{y}=0\Rightarrow 2,33kN-10kN+7,67kN=0\)

Wynik równania jest zerowy co oznacza, że reakcje obliczyliśmy poprawnie.

Przykład: Zadanie nr 2

Na podstawie twierdzeń o prętach zerowych wyznaczyć pręty zerowe w kratownicy z zadania 1.

Możemy zauważyć, że w węźle C schodzą się tylko dwa pręty oraz węzeł jest nieobciążony.

Zgodnie z pierwszym twierdzeniem o prętach zerowych oba pręty w węźle są zerowe (siła w nich wynosi zero).

W węźle A również schodzą się dwa pręty i jest on obciążony siłą równoległą do jednego z prętów.

Zgodnie z drugim twierdzeniem o prętach zerowych pręt AD jest prętem zerowym.

W węźle E schodzą się trzy pręty z czego dwa z nich są współliniowe (leżą na jednej prostej) oraz węzeł jest nieobciążony.

Zgodnie z trzecim twierdzeniem o prętach zerowych pręt BE jest prętem zerowym.

W analizowanej kratownicy, na podstawie trzech twierdzeń o prętach zerowych możemy wskazać trzy pręty w których siła wewnętrzna jest równa zero. 

Pręty zerowe możemy oznaczać kółkiem na rysunku:

Przykład: Zadanie nr 3

Dla kratownicy z zadania 1 wyznaczyć siły wewnętrzne w prętach metodą równoważenia węzłów (węzłową).

W metodzie węzłowej mamy do dyspozycji dwa równania, sumę rzutów sił na oś x oraz sumę rzutów sił na oś y. Dlatego możemy wyciąć wyłącznie taki węzeł w którym mamy dwie niewiadome siły w prętach.

Na początek możemy zatem wyciąć albo węzeł A albo C. Zacznijmy np. od wycięcia węzła A.

Teraz zapiszemy równania sumy rzutów sił na oś x i oś x oraz wyznaczymy z nich wartości sił wewnętrznych w prętach AB i AD.

\(\sum\ F_{x}=0\Rightarrow 4kN+S_{AB}=0 \\S_{AB}=-4kN \\\sum\ F_{y}=0\Rightarrow S_{AD}=0\)

Z obliczeń wynika że wartość siły wewnętrznej w pręcie AB jest ujemna co oznacza że jest to pręt ściskany. Z uwagi na brak sił pionowych w węźle A wartość siły wewnętrznej w pręcie AD jest równa zero, co potwierdza drugie twierdzenie o prętach zerowych (zadanie 2).

Następnie wycinamy węzeł C i podobnie jak w przypadku węzła A korzystając z sumy rzutów na oś x i oś y obliczamy siły w prętach.

\(\sum\ F_{x}=0\Rightarrow S_{BC}=0 \\\sum\ F_{y}=0\Rightarrow S_{CF}=0\)

Z uwagi na brak sił w węźle C zarówno siły wewnętrzne w pręcie BC jak i w pręcie CF są równe zero. Potwierdza to pierwsze twierdzenie o prętach zerowych (zadanie 2).

Następnym węzłem, który możemy wyciąć jest węzeł D. Z uwagi na fakt, że znamy już siłę wewnętrzną w pręcie AD, wycinając węzeł D pozostaną nam dwie niewiadome siły w prętach DE i BD.

Zanim przystąpimy do zapisywania równań rzutów się na oś x i oś y musimy rozłożyć siłę w pręcie BD na składowe równoległe do osi x i osi y.

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym obliczamy składową równoległą do osi x i do osi y.

\(S_{BDx}=S_{BD}\times\cos\beta \\S_{BDy}=S_{BD}\times\sin\beta \)

Aby ustalić wartości sinusa i cosinusa kąta beta nie musimy szukać wartości kąta, wystarczy nam że znamy wymiary naszej kratownicy.

\(\sin\beta=\frac{4}{5}=0,8 \\\cos\beta=\frac{3}{5}=0,6 \\\ S_{BDx}=S_{BD}\times0,6 \\S_{BDy}=S_{BD}\times0,8\)

Teraz mając siłę w pręcie BD rozłożoną na składowe możemy przystąpić do zapisania równań sumy rzutów sił na oś x i na oś y.

\(\sum F_{y}=0\Rightarrow2,33kN+0,8S_{BD}=0 \\0,8S_{BD}=-2,33kN \\S_{BD}=-2,91kN \\\sum F_{x}=0\Rightarrow-4kN+0,6S_{BD}+S_{DE}=0 \\-4kN-0,62,91kN+S_{DE}=0 \\S_{DE}=5,75kN\)

Teraz z powodzeniem możemy wyciąć węzeł E ponieważ znając wartość siły wewnętrznej w pręcie DE, w węźle E po jego wycięciu pozostaną tylko dwie niewiadome siły.

Teraz zapiszemy równania rzutów sił na oś x i na oś y oraz obliczymy wartości sił wewnętrznych w prętach BE i EF.

\(\sum F_{x}=0\Rightarrow-5,75kN+S_{EF}=0 \\S_{EF}=5,75kN \\\sum F_{y}=0\Rightarrow S_{BE}=0\)

Z obliczeń wynika że wartość siły wewnętrznej w pręcie EF jest dodatnia co oznacza, że jest to pręt rozciągany.

Z uwagi na brak sił pionowych w węźle E wartość siły wewnętrznej  w pręcie BE jest równa zero, co potwierdza trzecie twierdzenie o prętach zerowych (zadanie 2).

Ostatnim węzłem, który został nam do wycięcia jest węzeł F.

Tylko dwie siły wewnętrzne w prętach w węźle F są niewiadome więc możemy je obliczyć używając równań sumy rzutów sił na oś x i na oś y.

Rozkład siły w pręcie BF na składowe wykonujemy w taki sam sposób jak przy wycięciu węzła D. Możemy wykorzystać wartości sinusa i cosinusa kąta beta obliczone wcześniej.

Zapisujemy równania sumy rzutów sił na oś x i na oś y:

\(\sum F_{x}=0\Rightarrow-5,75kN-0,6S_{BF}=0 \\S_{BF}=-9,58kN \\\sum F_{y}=0\Rightarrow 7,67kN+0,8S_{BF}+S_{BE}=0 \\7,67kN-0,8\times9,58+S_{BE}=0 \\S_{BE}=0\)

Z obliczeń wynika że wartość siły wewnętrznej w pręcie BF jest ujemna co oznacza że jest to pręt ściskany. Wartość siły w pręcie BE wyszła zerowa co potwierdza pierwsze twierdzenie o prętach zerowych (zadanie 2).

Skoro mamy już obliczone wartości sił wewnętrznych we wszystkich prętach naszej kratownicy możemy zrobić zbiorcze zestawienie wyników. 

Na schemacie statycznym kratownicy zaznaczamy obliczone wartości sił wewnętrznych (wartości bezwzględne) oraz rysujemy odpowiednie zwroty sił wewnętrznych. 

W przypadku siły ujemnej (pręt ściskany) zwroty sił skierowane są na zewnątrz pręta (akcja i reakcja, odpowiedź sił wewnętrznych na ściskanie).

W przypadku siły dodatniej (pręt rozciągany) zwroty sił wewnętrznych skierowane są do wewnątrz.

Przykład: Zadanie nr 4

Dla kratownicy z zadania 1 obliczyć siły wewnętrzne w prętach metoda Rittera.

Dokonujemy pierwszego przekroju zgodnie z zasadami metody Rittera (przez trzy pręty nie wychodzące z jednego węzła). 

Teraz możemy zapisać równanie sumy momentów w punkcie D dla lewej strony przekroju. 

Dzięki temu, że przez punkt D przechodzą kierunki działania sił w prętach BD i DE, odległości tych sił od punktu D są równe zero a co za tym idzie moment również jest zerowy. Eliminując dwie niewiadome z równania będziemy mogli z niego wyznaczyć siłę w pręcie AB.

Zakładamy podobnie jak przy obliczaniu reakcji że moment obracający w prawo to moment dodatni.

\(\sum M_D^L=0\Rightarrow4kN\times4m+S_{AB}\times4m=0 \\S_{AB}=-4kN \\\sum F_Y^L=0\Rightarrow2,33kN+0,8S_{ED}=0 \\S_{ED}=-2,91kN\)

Jak widzimy wszystkie wyniki zgadzają się z uzyskanymi za pomocą metody równoważenia węzłów. W tym przekroju została nam do obliczenia jeszcze siła wewnętrzna w pręcie DE. Tym razem skorzystamy z prawej części przekroju. 

Aby obliczyć siłę wewnętrzna w pręcie DE zapiszemy równanie sumy momentów w punkcie B.

Odległości kierunków wektorów sił AB i BD od punktu B są równe zero, więc moment tych sił względem tego punktu również jest równy zero. Możemy zatem obliczyć z tego równania niewiadomą siłę w pręcie DE:

\(\sum M_B^P=0\Rightarrow S_{DE}\times4m-7,67kN\times3m=0 \\S_{DE}=5,75kN\)

Jak widzimy wartość siły w pręcie zgadza się z wartością obliczoną metodą równoważenia węzłów. 

Aby obliczyć wartości sił w pozostałych prętach dokonujemy kolejnego przekroju Rittera.

Z równania sumy momentów względem punktu F wyznaczamy siłę w pręcie BC, natomiast z równania sumy rzutów sił na oś Y wyznaczamy siłę w pręcie BF.

\(\sum M_F^P=0\Rightarrow S_{BC}=0 \\\sum F_Y^P=0\Rightarrow 7,67kN+0,8S_{BF}=0 \\S_{BF}=-9,58kN\)

Oczywiście wszystkie wyniki pozostają w zgodzie z uzyskanymi za pośrednictwem metody równoważenia węzłów.

Teraz wykorzystując lewą stronę przekroju obliczymy siłę wewnętrzną w pręcie EF.

Zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie B oraz obliczamy wartość siły wewnętrznej w pręcie EF.

\(\sum M_B^L=0\Rightarrow4kN\times4m+2,33kN\times3m- S_{EF}\times4m=0 \\S_{EF}=5,75kN\)

Otrzymana wartość jest równa tej obliczonej przy wykorzystaniu metody równoważenia węzłów.