Udostępnij:

Kratownica

Najprostszym przypadkiem kratownicy jest układ trzech prętów połączonych ze sobą za pomocą trzech węzłów przegubowych:

Rys. 6.1 Prosta kratownica
Rys. 6.1 Prosta kratownica
Kiedy układ statyczny nazywamy kratownicą

Aby układ statyczny można nazwać kratownicą obciążenia mogą być do niego przyłożone wyłącznie w węzłach. 

Jeżeli spotkamy się z sytuacją, że do pręta obustronnie zakończonego przegubem mamy przyłożone obciążenie pomiędzy węzłami to nie możemy takiego elementu traktować jako część kratownicy.

Rys. 6.2 Kratownica - schemat obciążenia
Rys. 6.2 Kratownica - schemat obciążenia
Kratownica może być obciążona wyłącznie w węzłach (przegubach)

Konsekwencją wszystkich powyższych zasad dotyczących ustrojów kratowych jest fakt, że siły wewnętrzne występujące w kratownicach to wyłącznie siły normalne (osiowe). 

W kratownicy występują wyłącznie siły normalne (osiowe). Nie ma sił tnących oraz momentów gnących

Jeśli nie możemy przykładać sił (obciążeń) do prętów kratownicy nigdzie poza węzłami oraz wiemy, że wszystkie węzły są przegubowe (moment w przegubie zawsze jest równy zero), to wykres momentów gnących z całą pewnością będzie równy zero, a co za tym idzie - również wykres sił tnących.

Elementy składowe kratownicy:
  1. Pas górny
  2. Pas dolny
  3. Słupek
  4. Krzyżulec
Rys. 6.3 Elementy kratownicy
Rys. 6.3 Elementy kratownicy
Rys. 6.4 Most stalowy - przykład kratownicy
Rys. 6.4 Most stalowy - przykład kratownicy
Kratownica przestrzenna

Do tej pory omówiliśmy układy prętowe, które zostały sprowadzone do dwuwymiarowego (płaskiego) układu współrzędnych. 

Jak zatem będą wyglądać w układzie trójwymiarowymi (przestrzennym)? 

Podobnie jak w przypadku płaskim, kratownica przestrzenna składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach za pośrednictwem przegubów:

Rys. 6.5 Kratownica przestrzenna
Rys. 6.5 Kratownica przestrzenna
Rys. 6.6 Kratownica przestrzenna - dźwigar kratowy
Rys. 6.6 Kratownica przestrzenna - dźwigar kratowy
Siły wewnętrzne w prętach kratownicy

Wiemy już, że w kratownicy występują wyłącznie siły osiowe (normalne). 

Jest kilka metod służących do obliczania sił wewnętrznych w prętach kratownicy. 

Omówione zostaną dwie najpopularniejsze z nich:

  1. metoda równoważenia węzłów
  2. metoda Rittera

Są to metody alternatywne i każda z nich powinna dawać identyczne wyniki w obliczeniach. 

Pręty ściskane i rozciągane

Wyobraźmy sobie, że mamy dany pręt obciążony dwoma siłami, które go ściskają. Aby wyznaczyć wartości sił wewnętrznych w pręcie kratownicy rozcinamy go myślowo.

Rys. 6.7 Pręt ściskany - przekrój
Rys. 6.7 Pręt ściskany - przekrój

Następnie po dokonaniu przekroju zaznaczamy siły wewnętrzne. 

Pręt jest poddany ściskaniu przez siły zewnętrzne. Zgodnie z III zasadą dynamiki ściskany pręt stawia opór a więc siły wewnętrzne przeciwdziałają temu ściskaniu. 

Zgodnie z powyższym zwroty sił wewnętrznych będą musiały być przeciwne do zwrotów sił zewnętrznych.

Rys. 6.8 Pręt ściskany - siły wewnętrzne
Rys. 6.8 Pręt ściskany - siły wewnętrzne

Teraz rozważmy pręt rozciągany siłami zewnętrznymi. Znowu dokonujemy myślowego przekroju pręta.

Rys. 6.9 Pręt rozciągany - przekrój
Rys. 6.9 Pręt rozciągany - przekrój

Następnie zaznaczamy siły wewnętrzne, których zwroty również muszą być przeciwne do zwrotów sił zewnętrznych aby zachodziła równowaga pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi.

Rys. 6.10 Pręt rozciągany - siły wewnętrzne
Rys. 6.10 Pręt rozciągany - siły wewnętrzne
Metoda równoważenia węzłów

Metoda to polega na wycinaniu poszczególnych węzłów kratowych a następnie obliczaniu sił w prętach przy wykorzystaniu dwóch równań tj. sumy rzutów sił na oś X i na oś Y. 

Mając na uwadze, iż do dyspozycji mamy tylko dwa równania, możemy wyciąć wyłącznie taki węzeł, w którym mamy tylko dwie niewiadome siły w dwóch prętach.
Rys. 6.11 Metoda wycinania węzłów
Rys. 6.11 Metoda wycinania węzłów

Przekroju dokonujemy nieskończenie blisko węzła. Zwroty sił wewnętrznych zaznaczamy od przekroju (jak siły rozciągające). Jeśli z naszych obliczeń wyjdzie że siła jest ujemna to będzie oznaczało, że pręt jest ściskany.

Rys. 6.12  Wycięty węzeł kratownicy
Rys. 6.12  Wycięty węzeł kratownicy

Teraz wykorzystując równania rzutów sił na oś x i y możemy obliczyć siły w prętach.

Metoda Rittera

Metoda Rittera polega na przecięciu kratownicy płaszczyzną tnącą.

Płaszczyzna powinna przecinać nie mniej i nie więcej niż trzy pręty kratownicy. 
Rys. 6.13 Metoda Rittera - przecięcie płaszczyzną
Rys. 6.13 Metoda Rittera - przecięcie płaszczyzną

Po przecięciu prętów płaszczyzną, zaznaczamy w każdym przeciętym pręcie siłę wewnętrzną. Po oznaczeniu sił wewnętrznych możemy podzielić kratownice na część lewą i prawą.

Rys. 6.14 Metoda Rittera - lewa strona przekroju
Rys. 6.14 Metoda Rittera - lewa strona przekroju
Rys. 6.15 Metoda Rittera - prawa strona przekroju
Rys. 6.15 Metoda Rittera - prawa strona przekroju

Metoda Rittera daje nam możliwość użycia aż sześciu równań do obliczania sił w prętach:

\(\sum F_x^L=0\ ,\ \sum F_x^P=0\ \\\sum F_y^L=0\ ,\ \sum F_y^P=0 \\\sum M_i^L=0\ ,\ \sum M_i^P=0\)

Wykorzystując równowagę pomiędzy siłami wewnętrznymi w zewnętrznymi możemy obliczać sumy rzutów sił na oś x i y zarówno po lewej jak i po prawej stronie przekroju.

Podobnie z sumą momentów w dowolnym punkcie, możemy liczyć ją po stronie lewej jak i po stronie prawej przekroju.

Przykład: Zadanie nr 1

Obliczyć reakcje podporowe w kratownicy o schemacie statycznym przedstawionym na rysunku.

Rys. 6.16 Schemat statyczny kratownicy
Rys. 6.16 Schemat statyczny kratownicy
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami?  Kliknij tutaj
  1. W pierwszym kroku zastępujemy podpory odpowiednimi dla nich reakcjami podporowymi.
    Rys. 6.17 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
    Rys. 6.17 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
  2. Następnie ustalamy  sposób znakowania .

    Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.
    Rys. 6.18 Sposób znakowania
    Rys. 6.18 Sposób znakowania
  3. Teraz zapisujemy równanie sumy rzutów sił równoległych do osi x.

    Szukamy na naszej kratownicy sił, które są równoległe do osi x.

    Jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem osi x przyjętego na wstępie układu współrzędnych, siłę znakujemy w równaniu jako dodatnią, jeśli zwrot jest przeciwny do zwrotu osi siłę znakujemy jako ujemną:

    \(\sum F_{x}=0\Rightarrow\ 4kN+H_{D}=0 \\H_{D}=-4kN\)

    Z powyższego równania wyznaczyliśmy reakcje H D, której wartość wyszła ujemna, co oznacza, że wektor HD działa z przeciwnym zwrotem.

    Powyższe oznaczamy na rysunku poprzez skreślenie założonego zwrotu, wrysowanie nowego oraz wpisanie wartości bezwzględnej reakcji na rysunku.

    Znak ujemny przy obliczaniu wartości wektora reakcji zastępujemy zmianą zwrotu wektora na rysunku. Stąd też na rysunku wpisujemy wartość bezwzględną reakcji z właściwym (uprzednio zmienionym) zwrotem.
    Rys. 6.19 Obliczenie reakcji poziomej HD
    Rys. 6.19 Obliczenie reakcji poziomej HD
  4. Następnie zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie D aby obliczyć reakcję VF.

    Wybieramy punkt D ponieważ odległość reakcji VD od punktu D jest równa zero a co za tym idzie moment względem punktu D tej reakcji będzie również równy zero. 

    Dzięki temu otrzymamy równanie z jedną niewiadomą.  Na tym etapie, nie ma sensu zapisywać równania sumy rzutów sił na os Y ponieważ będą w nim występowały dwie niewiadome.

    \(\sum M_{D}=0\Rightarrow\ 4kN\times4m+10 kN\times3m-V_{F}\times6m=0 \\V_{F}\times6m=-46kNm/\div6m \\V_{F}=7,67kN\)

    Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych?  Kliknij tutaj

    Na rysunku zaznaczamy obliczoną wartość reakcji. Nie zmieniamy założonego zwrotu reakcji ponieważ obliczona wartość reakcji V F jest dodatnia.

    Rys. 6.20 Obliczenie reakcji pionowej VF
    Rys. 6.20 Obliczenie reakcji pionowej VF
  5. Zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie F aby obliczyć reakcje VD.

    Nie korzystamy z sumy rzutów sił na oś Y ponieważ w przypadku gdyby wyliczona wartość reakcji V F była błędna, będziemy kontynuować błąd i wartość reakcji VD również będzie błędna. 

    Licząc moment w punkcie F, odległość reakcji V F od punktu F jest równa zero, a co za tym idzie nie będzie tworzyć w tym punkcie momentu.

    Obliczymy zatem reakcje VD zupełnie niezależnie od wcześniej obliczonej reakcji VF:

    \(\sum M_{F}=0\Rightarrow\ 4kN\times4m-10 kN\times3m+V_{D}\times6m=0 \\V_{D}\times6m=14kNm/\div6m \\V_{D}=2,33kN \)

    Na rysunku zaznaczamy obliczoną wartość reakcji. Nie zmieniamy założonego zwrotu reakcji ponieważ obliczona wartość reakcji V F jest dodatnia.

    6.21 Obliczenie reakcji pionowej VD
    6.21 Obliczenie reakcji pionowej VD
  6. Wykonujemy sprawdzenie poprawności obliczeń.

    Aby sprawdzenie było reprezentatywne powinniśmy wykorzystać takie równanie, którego jeszcze nie używaliśmy do obliczania żadnej z reakcji.

    Wykorzystamy równanie sumy rzutów sił na oś Y, jeśli suma wszystkich sił pionowych będzie równa zero to znaczy że układ statyczny jest w równowadze a co za tym idzie obliczone wartości reakcji są właściwe. 

    Szukamy sił równoległych do osi Y i jeśli mają zwrot zgodny ze zwrotem osi dodajemy, jeśli ujemny odejmujemy.

    \(\sum\ F_{y}=0\Rightarrow 2,33kN-10kN+7,67kN=0\)

Wynik równania jest zerowy co oznacza, że reakcje obliczyliśmy poprawnie .

Przykład: Zadanie nr 2

Na podstawie twierdzeń o prętach zerowych wyznaczyć pręty zerowe w kratownicy z zadania 1.

Rys. 6.22 Kratownica z wyznaczonymi reakcjami podporowymi
Rys. 6.22 Kratownica z wyznaczonymi reakcjami podporowymi

Możemy zauważyć, że w węźle C schodzą się tylko dwa pręty oraz węzeł jest nieobciążony.

Rys. 6.23 Węzeł C
Rys. 6.23 Węzeł C

Zgodnie z pierwszym twierdzeniem o prętach zerowych oba pręty w węźle są zerowe (siła w nich wynosi zero).

Rys. 6.24 Pręty zerowe w węźle C
Rys. 6.24 Pręty zerowe w węźle C

W węźle A również schodzą się dwa pręty i jest on obciążony siłą równoległą do jednego z prętów.

Rys. 6.25 Węzeł A
Rys. 6.25 Węzeł A

Zgodnie z drugim twierdzeniem o prętach zerowych pręt AD jest prętem zerowym.

Rys. 6.26 Pręt zerowy w węźle A
Rys. 6.26 Pręt zerowy w węźle A

W węźle E schodzą się trzy pręty z czego dwa z nich są współliniowe (leżą na jednej prostej) oraz węzeł jest nieobciążony.

Rys. 6.27 Węzeł E
Rys. 6.27 Węzeł E

Zgodnie z trzecim twierdzeniem o prętach zerowych pręt BE jest prętem zerowym.

Rys. 6.28 Pręt zerowy w węźle E
Rys. 6.28 Pręt zerowy w węźle E

W analizowanej kratownicy, na podstawie trzech twierdzeń o prętach zerowych możemy wskazać trzy pręty w których siła wewnętrzna jest równa zero. 

Pręty zerowe możemy oznaczać kółkiem na rysunku:

Rys. 6.29 Zestawienie prętów zerowych
Rys. 6.29 Zestawienie prętów zerowych
Więcej zadań z zakresu obliczania sił w prętach kratownicy (metoda równoważenia węzłów i metoda Rittera), rozwiązanych krok po kroku, znajdziesz w następujących kursach:
Z kodem " DOBRY20 " zyskasz 20% rabatu na zakup każdego kursu.