Kratownica

Najprostszym przypadkiem kratownicy jest układ trzech prętów połączonych ze sobą za pomocą trzech węzłów przegubowych:

Kiedy układ statyczny nazywamy kratownicą

Aby układ statyczny można nazwać kratownicą obciążenia mogą być do niego przyłożone wyłącznie w węzłach. 

Jeżeli spotkamy się z sytuacją, że do pręta obustronnie zakończonego przegubem mamy przyłożone obciążenie pomiędzy węzłami to nie możemy takiego elementu traktować jako część kratownicy.

Konsekwencją wszystkich powyższych zasad dotyczących ustrojów kratowych jest fakt, że siły wewnętrzne występujące w kratownicach to wyłącznie siły normalne (osiowe). 

Jeśli nie możemy przykładać sił (obciążeń) do prętów kratownicy nigdzie poza węzłami oraz wiemy, że wszystkie węzły są przegubowe (moment w przegubie zawsze jest równy zero), to wykres momentów gnących z całą pewnością będzie równy zero, a co za tym idzie - również wykres sił tnących.

Elementy składowe kratownicy:

1. Pas górny
2. Pas dolny
3. Słupek
4. Krzyżulec

Kratownica przestrzenna

Do tej pory omówiliśmy układy prętowe, które zostały sprowadzone do dwuwymiarowego (płaskiego) układu współrzędnych. 

Jak zatem będą wyglądać w układzie trójwymiarowymi (przestrzennym)? 

Podobnie jak w przypadku płaskim, kratownica przestrzenna składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach za pośrednictwem przegubów:

Siły wewnętrzne w prętach kratownicy

Wiemy już, że w kratownicy występują wyłącznie siły osiowe (normalne). 

Jest kilka metod służących do obliczania sił wewnętrznych w prętach kratownicy. 

Omówione zostaną dwie najpopularniejsze z nich:

1. metoda równoważenia węzłów
2. metoda Rittera

Są to metody alternatywne i każda z nich powinna dawać identyczne wyniki w obliczeniach. 

Pręty ściskane i rozciągane

Wyobraźmy sobie, że mamy dany pręt obciążony dwoma siłami, które go ściskają. Aby wyznaczyć wartości sił wewnętrznych w pręcie kratownicy rozcinamy go myślowo.

Następnie po dokonaniu przekroju zaznaczamy siły wewnętrzne. 

Pręt jest poddany ściskaniu przez siły zewnętrzne. Zgodnie z III zasadą dynamiki ściskany pręt stawia opór a więc siły wewnętrzne przeciwdziałają temu ściskaniu. 

Zgodnie z powyższym zwroty sił wewnętrznych będą musiały być przeciwne do zwrotów sił zewnętrznych.

Teraz rozważmy pręt rozciągany siłami zewnętrznymi. Znowu dokonujemy myślowego przekroju pręta.

Następnie zaznaczamy siły wewnętrzne, których zwroty również muszą być przeciwne do zwrotów sił zewnętrznych aby zachodziła równowaga pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi.

Metoda równoważenia węzłów

Metoda to polega na wycinaniu poszczególnych węzłów kratowych a następnie obliczaniu sił w prętach przy wykorzystaniu dwóch równań tj. sumy rzutów sił na oś X i na oś Y. 

Przekroju dokonujemy nieskończenie blisko węzła. Zwroty sił wewnętrznych zaznaczamy od przekroju (jak siły rozciągające). Jeśli z naszych obliczeń wyjdzie że siła jest ujemna to będzie oznaczało, że pręt jest ściskany.

Teraz wykorzystując równania rzutów sił na oś x i y możemy obliczyć siły w prętach.

Metoda Rittera

Metoda Rittera polega na przecięciu kratownicy płaszczyzną tnącą.

Po przecięciu prętów płaszczyzną, zaznaczamy w każdym przeciętym pręcie siłę wewnętrzną. Po oznaczeniu sił wewnętrznych możemy podzielić kratownice na część lewą i prawą.

Metoda Rittera daje nam możliwość użycia aż sześciu równań do obliczania sił w prętach:

\(\sum F_x^L=0\ ,\ \sum F_x^P=0\ \\\sum F_y^L=0\ ,\ \sum F_y^P=0 \\\sum M_i^L=0\ ,\ \sum M_i^P=0\)

Wykorzystując równowagę pomiędzy siłami wewnętrznymi w zewnętrznymi możemy obliczać sumy rzutów sił na oś x i y zarówno po lewej jak i po prawej stronie przekroju.

Podobnie z sumą momentów w dowolnym punkcie, możemy liczyć ją po stronie lewej jak i po stronie prawej przekroju.

Przykład: Zadanie nr 1

Obliczyć reakcje podporowe w kratownicy o schemacie statycznym przedstawionym na rysunku.

1. W pierwszym kroku zastępujemy podpory odpowiednimi dla nich reakcjami podporowymi.

   

2. Następnie ustalamy  sposób znakowania .

   Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.

   

3. Teraz zapisujemy równanie sumy rzutów sił równoległych do osi x.

   Szukamy na naszej kratownicy sił, które są równoległe do osi x.

   Jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem osi x przyjętego na wstępie układu współrzędnych, siłę znakujemy w równaniu jako dodatnią, jeśli zwrot jest przeciwny do zwrotu osi siłę znakujemy jako ujemną:

   \(\sum F_{x}=0\Rightarrow\ 4kN+H_{D}=0 \\H_{D}=-4kN\)

   Z powyższego równania wyznaczyliśmy reakcje H D, której wartość wyszła ujemna, co oznacza, że wektor HD działa z przeciwnym zwrotem.

   Powyższe oznaczamy na rysunku poprzez skreślenie założonego zwrotu, wrysowanie nowego oraz wpisanie wartości bezwzględnej reakcji na rysunku.

   Znak ujemny przy obliczaniu wartości wektora reakcji zastępujemy zmianą zwrotu wektora na rysunku. Stąd też na rysunku wpisujemy wartość bezwzględną reakcji z właściwym (uprzednio zmienionym) zwrotem.

   

4. Następnie zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie D aby obliczyć reakcję VF.

   Wybieramy punkt D ponieważ odległość reakcji VD od punktu D jest równa zero a co za tym idzie moment względem punktu D tej reakcji będzie również równy zero. 

   Dzięki temu otrzymamy równanie z jedną niewiadomą.  Na tym etapie, nie ma sensu zapisywać równania sumy rzutów sił na os Y ponieważ będą w nim występowały dwie niewiadome.

   \(\sum M_{D}=0\Rightarrow\ 4kN\times4m+10 kN\times3m-V_{F}\times6m=0 \\V_{F}\times6m=-46kNm/\div6m \\V_{F}=7,67kN\)

   Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych?  Kliknij tutaj

   Na rysunku zaznaczamy obliczoną wartość reakcji. Nie zmieniamy założonego zwrotu reakcji ponieważ obliczona wartość reakcji V F jest dodatnia.

   

5. Zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie F aby obliczyć reakcje VD.

   Nie korzystamy z sumy rzutów sił na oś Y ponieważ w przypadku gdyby wyliczona wartość reakcji V F była błędna, będziemy kontynuować błąd i wartość reakcji VD również będzie błędna. 

   Licząc moment w punkcie F, odległość reakcji V F od punktu F jest równa zero, a co za tym idzie nie będzie tworzyć w tym punkcie momentu.

   Obliczymy zatem reakcje VD zupełnie niezależnie od wcześniej obliczonej reakcji VF:

   \(\sum M_{F}=0\Rightarrow\ 4kN\times4m-10 kN\times3m+V_{D}\times6m=0 \\V_{D}\times6m=14kNm/\div6m \\V_{D}=2,33kN \)

   Na rysunku zaznaczamy obliczoną wartość reakcji. Nie zmieniamy założonego zwrotu reakcji ponieważ obliczona wartość reakcji V F jest dodatnia.

   

6. Wykonujemy sprawdzenie poprawności obliczeń.

   Aby sprawdzenie było reprezentatywne powinniśmy wykorzystać takie równanie, którego jeszcze nie używaliśmy do obliczania żadnej z reakcji.

   Wykorzystamy równanie sumy rzutów sił na oś Y, jeśli suma wszystkich sił pionowych będzie równa zero to znaczy że układ statyczny jest w równowadze a co za tym idzie obliczone wartości reakcji są właściwe. 

   Szukamy sił równoległych do osi Y i jeśli mają zwrot zgodny ze zwrotem osi dodajemy, jeśli ujemny odejmujemy.

   \(\sum\ F_{y}=0\Rightarrow 2,33kN-10kN+7,67kN=0\)

Wynik równania jest zerowy co oznacza, że reakcje obliczyliśmy poprawnie .

Przykład: Zadanie nr 2

Na podstawie twierdzeń o prętach zerowych wyznaczyć pręty zerowe w kratownicy z zadania 1.

Możemy zauważyć, że w węźle C schodzą się tylko dwa pręty oraz węzeł jest nieobciążony.

Zgodnie z pierwszym twierdzeniem o prętach zerowych oba pręty w węźle są zerowe (siła w nich wynosi zero).

W węźle A również schodzą się dwa pręty i jest on obciążony siłą równoległą do jednego z prętów.

Zgodnie z drugim twierdzeniem o prętach zerowych pręt AD jest prętem zerowym.

W węźle E schodzą się trzy pręty z czego dwa z nich są współliniowe (leżą na jednej prostej) oraz węzeł jest nieobciążony.

Zgodnie z trzecim twierdzeniem o prętach zerowych pręt BE jest prętem zerowym.

W analizowanej kratownicy, na podstawie trzech twierdzeń o prętach zerowych możemy wskazać trzy pręty w których siła wewnętrzna jest równa zero. 

Pręty zerowe możemy oznaczać kółkiem na rysunku: