Reakcje podporowe

Reakcje nazywamy siłami biernymi ponieważ stanowią one odpowiedź na działanie sił czynnych (obciążeń działających na belkę, ramę czy kratownicę).

Reakcje a III zasada dynamiki Newtona

Aby zrozumieć pojęcie reakcji musimy przypomnieć sobie trzecią zasadę dynamiki Newtona:

Jeśli ciało A działa siłą (siła akcji) na ciało B to ciało B działa na ciało A dokładnie taką samą siłą (siła reakcji) co do wartości, kierunku ale o przeciwnym zwrocie

Wyobraźmy sobie, że próbujemy pchnąć ścianę (inaczej: działamy na nią siłą). 

Jak można się domysleć, ściana będzie stawiać opór tj. będzie oddziaływać na nas taką sama siłą co do wartości, kierunku ale o przeciwnym zwrocie. 

Inaczej: pchamy ścianę a ta pcha nas.

My wywołujemy akcje, a ściana reakcje. 

Dzięki temu, że ściana równoważy naszą siłę zarówno my, jak i ściana pozostaje w równowadze układu sił (w bezruchu).

Kolejnym przykładem działania reakcji jest sytuacja, kiedy np. siedzimy na krześle:

Nasza masa pomnożona przez przyspieszenie ziemskie, daje siłę z jaką naciskamy na krzesło.

Krzesło stawia opór naszej sile, a więc działa na nas z taką samą siłą co do wartości, kierunku ale o przeciwnym zwrocie. 

Mówiąc prościej: my naciskamy na krzesło, a krzesło naciska na nas:

Dzięki temu, że siły oddziaływania się równoważą, siedząc na krześle pozostajemy w spoczynku.

Reakcje w belce

Innym, interesującym przykładem działania reakcji jest belka swobodnie podparta i jej przykład z życia tj. most.

Jak wiemy na belce mogą występować różnego rodzaju obciążenia takie jak siła skupiona, obciążenie ciągłe, moment skupiony, które powodują oddziaływania mostu na przyczółki (elementy podparcia). 

Most naciska na przyczółki, które stawiają opór (akcja - reakcja).

Obciążenie na moście wywołuje siły akcji (siły czynne) natomiast podpory oddają siły reakcji (siły bierna), których obliczenie będzie naszym zadaniem.

Jak zastąpić podpory reakcjami?

Warunkiem niezbędnym, aby powstała reakcja jest siła (czyli akcja) działająca na ciało, które stawia opór.

Zgodnie z powyższym aby w danej podporze wystąpiła reakcja na danym kierunku, podpora musi blokować ruch na tym kierunku. 

Pamiętajmy, że na płaszczyźnie (w układzie płaskim) mamy tylko trzy możliwe kierunki ruchu wzdłuż osi x (poziomy), wzdłuż osi y (pionowy) oraz ruch obrotowy.

Podpora przegubowa przesuwna

Możemy w prosty sposób sprawdzić jakimi reakcjami zastąpić daną podporę. 

Wystarczy myślowo przyłożyć do podpory silę na kierunku pionowym i poziomym oraz moment skupiony i przeanalizować który z wyżej wymienionych ruchów podpora blokuje. 

Jeśli podpora blokuje ruch na danym kierunku to znaczy że siła napotka na opór a co za tym idzie wystąpi reakcja. 

Podpora przegubowa przesuwna jak widzimy na poniższym obrazku blokuje nam możliwość ruchu pionowego (wzdłuż osi y) natomiast pozwala na ruch poziomy i dzięki połączeniu przegubowemu pozwala na ruch obrotowy. 

Dlatego właśnie taką podporę zastępujemy wyłącznie jedną reakcją pionową:

Podpora przegubowa nieprzesuwna

Postępujemy dokładnie tak samo jak w przypadku podpory przegubowej przesuwnej. 

Podpora przegubowa nieprzesuwna jak obrazku poniżej blokuje nam możliwość ruchu pionowego (wzdłuż osi y) oraz poziomego (wzdłuż osi x) natomiast dzięki połączeniu przegubowemu pozwala na ruch obrotowy. 

Dlatego właśnie taką podporę zastępujemy dwoma reakcjami poziomą i pionową.

Wspornik - utwierdzenie

Wspornik blokuje nam możliwość ruchu pionowego (wzdłuż osi y), poziomego (wzdłuż osi x) oraz ruchu obrotowego. 

Jak widzimy wspornik odbiera (blokuje) wszystkie możliwe kierunki ruchu układu na płaszczyźnie. 

Można również powiedzieć, że utwierdzenie odbiera wszystkie trzy stopnie swobody zatem tego typu podporę zastępujemy trzema reakcjami poziomą, pionową i momentem.

Wspornik przesuwny - łyżwa

Wspornik przesuwny potocznie nazywany łyżwą lub teleskopem blokuje nam możliwość ruchu poziomego (wzdłuż osi x) oraz ruchu obrotowego. 

Zastępujemy go zatem dwoma reakcjami poziomą i momentem:

Przykład: Zadanie nr 1

Obliczyć reakcje podporowe w belce swobodnie podpartej obciążonej jak na rysunku.

1. Pierwszym etapem zadania jest zastąpienie podpór odpowiednimi dla nich reakcjami.

   Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami?  Kliknij tutaj

   

2. Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.

   

3. Mamy do dyspozycji układ równań składający się z trzech równań równowagi: sumę rzutów sił na oś x, na oś y oraz sumę momentów w dowolnym punkcie:

   \(\sum F_{x}=0 \\\sum F_{y}=0 \\\sum M_{i}=0\)

   Zaczynamy obliczenia od równania z którego z pewnością wyznaczymy jedną z niewiadomych reakcji podporowych.

   Można zauważyć, że jeśli zapiszemy równanie sumy rzutów sił na oś x wystąpi w nim tylko jedna niewiadoma Ha, a co za tym idzie będziemy mogli obliczyć jej wartość.

   Szukamy zatem na belce sił równoległych do osi x i jeśli mają zwrot zgodny ze zwrotem osi wpisujemy do równania ze znakiem dodatnim a jeśli mają zwrot przeciwny do zwrotu osi wpisujemy do równania ze znakiem ujemnym.

   \(\sum F_{x}=0\Rightarrow H_{A}-2kN=0 \\H_{A}=2kN\)

   Wartość obliczonej reakcji zapisujemy na rysunku belki.

   

4. Następnie skorzystamy z równania sumy momentów w punkcie A.

   Dlaczego wybieramy punkt A?

   Chcemy znaleźć takie równanie w którym będzie tylko jedna niewiadoma aby móc ją obliczyć.

   Wiemy, że moment to siła pomnożona przez odległość. Odległość kierunku wektora Va od punktu A jest równa zero (punkt leży na kierunku działania wektora), zatem moment jaki tworzy reakcja Va w punkcie A jest równy zero.

   Oznacza to że reakcji V A nie będzie w naszym równaniu. Zostanie nam zatem jedna niewiadoma, którą obliczymy tj. reakcja podporowa Vb.

   Jak obliczyć moment siły na belce?  Kliknij tutaj

   \(\sum_{A}=0\Rightarrow10kN\times2m+\\8kNm+4kN\times9m-V_{B}\times6m=0 \\64kNm-V_{B}\times6m=0 \\-V_{B}\times6m=-64kNm/\div(-6m) \\V_{B}=10,67kN\)

   Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych?  Kliknij tutaj

   Wartość obliczonej reakcji zapisujemy na rysunku belki.

   

5. Następnym równaniem, które wykorzystamy będzie suma momentów w punkcie B.

   Dzięki temu równaniu wyznaczymy reakcję podporową Va.

   Dlaczego nie korzystam z sumy rzutów sił równoległych do osi Y?

   Jeśli popełniliśmy błąd w obliczeniach reakcji Vb (jej wartość jest zatem błędna) i użyjemy teraz do obliczeń równania sumy rzutów sił na oś Y to obliczmy reakcję podporową Va używając błędnie obliczonej reakcji Vb. Będziemy kontynuować swój błąd.

   Zapisując równanie sumy momentów w punkcie B, wiemy że odległość wektora reakcji Vb od punktu B jest równa zero a co za tym idzie moment tej reakcji w punkcie B ma wartość zerową.

   Nawet jeśli wartość reakcji podporowej Vb była by błędna, to wartość reakcji podporowej Va będzie obliczona zupełnie niezależnie. Mówiąc prosto - "nie ciągniemy" swojego błędu dalej.

   \(\sum M_{B}=0\Rightarrow V_{A}\times6m-\\10kN\times4m+8kNm+4kN\times3m=0 \\V_{A}\times6m-20kNm=0 \\V_{A}=3,33kN\)

   Pamiętaj, aby nie mnożyć momentu skupionego przez odległość! Moment skupiony dodajemy lub odejmujemy w równaniu momentów w zależności od jego zwrotu.

   Wartość obliczonej reakcji zapisujemy na rysunku belki.

   

6. Obliczyliśmy już wszystkie niewiadome reakcje podporowe, pozostaje wykonać sprawdzenie.

   Sprawdzenie nie jest obowiązkowe ale powinniśmy je wykonać aby wiedzieć czy obliczone przez nas wartości reakcji podporowych są poprawne czy nie. 

   Do sprawdzenia powinniśmy użyć takiego równania równowagi, którego jeszcze nie wykorzystywaliśmy w danym zadaniu do obliczania reakcji podporowych.

   Do równania sprawdzającego powinna wchodzić jak największa liczba obliczonych wcześniej reakcji podporowych.

   W naszym przypadku jako równanie sprawdzające możemy wykorzystać sumę rzutów sił na oś Y. To równanie nie było jeszcze wykorzystywane w obliczeniach oraz będą się w nim zawierać reakcja V A i VB.

   Szukamy zatem wszystkich sił równoległych do osi Y i jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem osi wpisujemy do równania ze znakiem plus, jeśli przeciwny do zwrotu osi Y wpisujemy do równania ze znakiem minus.

   \(\sum F_{Y}=0\Rightarrow 3,33kN-10kN+10,67kN-4kN=0\)

   Równanie sprawdzające się wyzerowało więc możemy stwierdzić, że reakcje podporowe zostały obliczone prawidłowo.

Przykład: Zadanie nr 2

Obliczyć reakcje podporowe w belce obciążonej między innymi obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym o schemacie statycznym jak na rysunku.

1. Pierwszym etapem zadania jest zastąpienie podpór odpowiednimi dla nich reakcjami.

    Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami?  Kliknij tutaj

   

2. Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.

   

3. Teraz powinniśmy zastąpić obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone siła skupioną (siła wypadkowa) o wartości reprezentującej siłę ciężkości tego obciążenia.

   Powyższą siłę wypadkową powinniśmy umieścić w środku ciężkości działającego obciążenia. Nasze obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone ma kształt prostokątny. Środek ciężkości prostokąta leży na przecięciu się jego przekątnych.

   Wartość siły wypadkowej czyli siła ciężkości z jaką obciążenie ciągłe działa na belkę będzie równe wadze obciążenia ciągłego [kN/m] pomnożonej przez długość jaką obciążenie zajmuje na belce [m].

   

   Siłę wypadkową traktujemy jak siłę skupiona przyłożoną w określonym punkcie.

4. Obliczamy sumę rzutów sił na oś X oraz obliczamy wartość reakcji podporowej H A.

   \(\sum F_{X}=0\Rightarrow H_{A}+5kN=0 \\H_{A}=-5kN\)

   Obliczona wartość rekcji Ha jest ujemna, co oznacza że wektor reakcji działa z przeciwnym zwrotem do założonego na rysunku. Na rysunku skreślamy założony uprzednio zwrot, rysujemy zwrot przeciwny, oraz wpisujemy wartość bezwzględną reakcji.

   

5. Obliczamy sumę momentów w punkcie A w celu wyznaczenia reakcji podporowej V B. 

   Jak obliczyć moment siły na belce?  Kliknij tutaj

   \(\sum M_{A}=0\Rightarrow 20kN\times2m+\\6kNm-2kN\times9m- V_{B}\times6m=0 \\V_{B}=4,67kN\)

   Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych?  Kliknij tutaj

   

6. W celu obliczenia ostatniej niewiadomej reakcji podporowej Va wykorzystamy równanie sumy momentów w punkcie B.

   Pamiętaj pomimo, że moment skupiony jest przyłożony w punkcie B, należy go uwzględnić w trakcie liczenia sumy momentów w punkcie B.

   \(\sum M_{B}=0\Rightarrow V_{A}\times6m-20kN\times4m+6kNm-2kN\times3m=0 \\V_{A}=13,33kN\)

   

    

7. Obliczyliśmy już wszystkie niewiadome reakcje podporowe, pozostaje wykonać sprawdzenie.

   Sprawdzenie nie jest obowiązkowe ale powinniśmy je wykonać aby wiedzieć czy obliczone przez nas wartości reakcji podporowych są poprawne czy nie.

   Do sprawdzenia powinniśmy użyć takiego równania równowagi, którego jeszcze nie wykorzystywaliśmy w danym zadaniu do obliczania reakcji podporowych.

   Do równania sprawdzającego powinna wchodzić jak największa liczba obliczonych wcześniej reakcji podporowych.

   W naszym przypadku jako równanie sprawdzające możemy wykorzystać sumę rzutów sił na oś Y.

   To równanie nie było jeszcze wykorzystywane w obliczeniach oraz będą się w nim zawierać reakcja V A i VB.

   Szukamy zatem wszystkich sił równoległych do osi Y i jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem osi wpisujemy do równania ze znakiem plus, jeśli przeciwny do zwrotu osi Y wpisujemy do równania ze znakiem minus.

   \(\sum F_{Y}=0\Rightarrow 13,33kN-20kN+4,67kN+2kN=0\)

   Równanie sprawdzające się wyzerowało więc możemy stwierdzić, że reakcje podporowe zostały obliczone prawidłowo .

Przykład: Zadanie nr 3

Obliczyć reakcje podporowe w belce wspornikowej obciążonej między innymi obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym o schemacie statycznym jak na rysunku.

1. Pierwszym etapem zadania jest zastąpienie podpór odpowiednimi dla nich reakcjami.

   Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami?  Kliknij tutaj

   

2. Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.

   

3. W kolejnym kroku zastępujemy obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone siła skupioną (siła wypadkowa) o wartości reprezentującej siłę ciężkości tego obciążenia.

   Powyższą siłę wypadkową powinniśmy umieścić w środku ciężkości działającego obciążenia. Nasze obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone ma kształt prostokątny. Środek ciężkości prostokąta leży na przecięciu się jego przekątnych.

   Wartość siły wypadkowej czyli siła ciężkości z jaką obciążenie ciągłe działa na belkę będzie równe wadze obciążenia ciągłego [kN/m] pomnożonej przez długość jaką obciążenie zajmuje na belce [m].

   

   Siłę wypadkową traktujemy jak siłę skupiona przyłożoną w określonym punkcie.

4. W celu wyznaczenia wartości reakcji podporowej Ha skorzystamy z równania sumy rzutów sił na oś x.

   \(\sum F_{X}=0\Rightarrow H_{A}-7kN=0 \\ H_{A}=7kN\)

   Wartość reakcji zaznaczamy na rysunku:

   

5. Następnie skorzystamy z równania sumy rzutów sił na oś Y.

   Jeśli zapiszemy to równanie, jedyną niewiadomą będzie reakcja podporowa Va a co za tym idzie będziemy mogli wyznaczyć jej wartość.

    \(\sum F_{Y}=0\Rightarrow V_{A}+3kN-40kN=0 \\ V_{A}=37kN\)

   Wartość obliczonej reakcji podporowej Va zaznaczamy na rysunku.

   

6. Ostatnią reakcją podporową na belce wspornikowej jaka została nam do wyznaczenia jest moment w utwierdzeniu Ma.

   Aby obliczyć wartość reakcji Ma niezależnie od wcześniej wyznaczonych reakcji podporowych H A i V A możemy wykorzystać równanie sumy momentów w puncie A.

   Jak obliczyć moment siły na belce?  Kliknij tutaj

   \(\sum M_{A}=0\Rightarrow -M_{A}-\\3kN\times2m+40kN\times6m+10kNm=0 \\ M_{A}=244kNm\)

   Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych?  Kliknij tutaj

   Obliczoną reakcję zaznaczamy na rysunku.

   

7. W ostatnim etapie zadania pozostaje wykonać sprawdzenie czy obliczone przez nas wartości reakcji podporowych w belce wspornikowej są poprawne.

   W tym przypadku do sprawdzenia obliczeń nie możemy wykorzystać równania sumy rzutów sił na oś Y ponieważ wcześniej z tego równania wyznaczyliśmy niewiadomą reakcję podporową M A.

   Pozostaje jedynie obrać sobie dowolny punkt na belce (oczywiście poza punktem A) i obliczyć w nim sumę momentów przy wykorzystaniu wyznaczonych reakcji. Załóżmy, że swobodny koniec belki wspornikowej oznaczę jako punkt B oraz jako równanie sprawdzające zapiszę sumę momentów w punkcie B.

   

   \(\sum M_{B}=+10kNm-40kN\times5m+\\3kN\times9m-244kNm+37kN\times11m=0\)

   Wynik sprawdzenia jest równy zero, możemy zatem stwierdzić, że wartości reakcji podporowych w zadanej belce wspornikowej obliczyliśmy poprawnie .