Środek ciężkości i środek masy

Jeśli pole grawitacji jest jednorodne pojęcie środka ciężkości jest tożsame z pojęciem środka masy. 

W rozważanych przez nas przypadkach geometrii mas dla figur płaskich możemy przyjąć, że punkt środka ciężkości pokrywa się z punktem środka masy.

Przykłady

Popatrzmy na rysunek zamieszczony poniżej:

Przyjmijmy, że nasz kamień jest podparty dokładnie w punkcie pod środkiem ciężkości.

Dlaczego kamienie utrzymują się w równowadze?

Jeśli przecięlibyśmy ten kamień na dwie części płaszczyzną. która przeszła by przez środek ciężkości to powstały by dwie części o takiej samej masie.

Podobna sytuacja ma miejsce na obrazku poniżej, gdzie figurka ptaka opiera się o piramidę dokładnie w miejscu pod środkiem ciężkości co pozwala jej pozostać w równowadze.

Środek ciężkości nie musi się jendak znajdować w geometrycznym środku ciała lub figury.

Pokazuje to zdjęcie nr 13.3, gdzie środek ciężkości wypada dokładnie na dziobie ptaszka. 

Dzieje się tak dlatego, gdyż ciało może mieć niejednorodny rozkład masy tj. pewne jego elementy mogą być cięższe a inne lżejsze (różna gęstość, różne materiały). 

W omawianym przypadku, skrzydła ptaszka są cięższe i wysunięte znacznie przed dziób. Dzięki temu, podparty jest w środku ciężkości i utrzymuje się w położeniu równowagi.

W zadaniach ze statyki zwykle będziemy się jednak zajmować przypadkami płaskimi dwuwymiarowymi. 

Pojęcie masy będziemy mogli zatem spokojnie zastąpić pojęciem pola powierzchni. 

W geometrii mas figur płaskich środkiem ciężkości będziemy zatem nazywać taki punkt przez który poprowadzona oś główna centralna będzie figurę na dwie części o równych momentach statycznych.

Położenie środka ciężkości będziemy musieli obliczać praktycznie we wszystkich zadaniach, które będą wymagały wyznaczenia głównych, centralnych momentów bezwładności. 

Pierwszym etapem takich zadań będzie zawsze wyznaczenie osi głównych centralnych (główny centralny układ współrzędnych). 

Moment statyczny figury płaskiej (moment pola)

Moment statyczny figury płaskiej obliczamy zawsze względem wskazanej osi.

Liczymy go mnożąc pola częściowych powierzchni figur przez rzędne odległości ich środków ciężkości od tej osi.

Zastosowanie momentu statycznego

Moment statyczny wykorzystywany jest najczęściej w przypadkach obliczania:

1. współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej
2. naprężeń stycznych przy ścinaniu korzystając ze wzoru Żurawskiego

 Jak obliczyć moment statyczny figury płaskiej?

W układzie współrzędnych x i y moment statyczny obliczamy w następujący sposób: 

Załóżmy, że mamy do obliczenia moment statyczny (moment pola) względem osi x.

Moment statyczny figury płaskiej będziemy obliczać poprzez przemnożenie pola powierzchni poszczególnych figur prostych z których składa się nasza figura przez rzędną odległości środka ciężkości każdej z tych figur od osi x. 

Podobnie postępujemy w przypadku momentu statycznego względem osi y, pole każdej z figur składowych mnożymy przez odległość środka ciężkości każdej z figur w tym przypadku od osi y.

\(\ S_{x}=A_{1}\times Y_{1}\)

gdzie:

S  _x  − moment statyczny względem osi x,

A  ₁  − pole figury 1,

Y  ₁  − współrzędna "Y" środka cięzkości figury 1 w układzie centralnym.