Udostępnij:

Wytrzymałość Materiałów

Obliczanie przemieszczeń metodą obciążeń wtórnych

Jak obliczyć przemieszczenie (ugięcie) swobodnego końca belki wspornikowej za pomocą metody obciążeń wtórnych

W tym wpisie obliczymy ugięcie (przemieszczenie pionowe) swobodnego końca belki wspornikowej za pomocą metody obciążeń wtórnych.

Mamy daną belkę o długości sześciu metrów zamocowaną na wsporniku. Belka jest wykonana ze stalowego profilu pełnego o wymiarach 10 × 20 cm. Moduł Younga dla stali, z której wykonany jest przekrój belki wynosi 210 GPa.  Belka obciążona jest momentem skupionym przyłożonym na swobodnym końcu belki.

Belka wspornikowa obciążona momentem skupionym
Rys. 1 Belka wspornikowa obciążona momentem skupionym

W pierwszym kroku, stosując metodę obciążeń wtórnych , rysujemy wykres momentu gnącego dla belki rzeczywistej obciążonej jak w temacie zadania.

Aby poprawnie i szybko sporządzić wykres momentów gnących dla zadanej belki powinniśmy zastosować metodę punktów charakterystycznych  (metoda szybka).
Wykres momentu gnącego dla belki rzeczywistej
Rys. 2 Wykres momentu gnącego dla belki rzeczywistej

Następnie belkę rzeczywistą zastępujemy belką fikcyjną. Metoda obciążeń wtórnych ściśle definiuje sposób tworzenia belki fikcyjnej. W tabelce poniżej znajdziecie sposoby zastępowania elementów schematu statycznego w belce rzeczywistej na odpowiednie elementy schematu statycznego belki fikcyjnej .

Zastępowanie belki rzeczywistej belką fikcyjną
Rys. 3 Zastępowanie belki rzeczywistej belką fikcyjną

Zgodnie z powyższą tabelką w naszym przypadku wspornik  zastępujemy swobodnym końcem, a swobody koniec belki zastępujemy wspornikiem.

Belka fikcyjna w metodzie Obciążeń Wtórnych
Rys. 4 Belka fikcyjna w metodzie Obciążeń Wtórnych

Następnie belkę fikcyjną obciążamy obciążeniem ciągłym o kształcie wykresu momentów gnących na belce rzeczywistej. W naszym przypadku wykres momentów gnących na belce rzeczywistej ma kształt prostokąta. Mając na uwadze powyższe, belkę fikcyjną obciążamy obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym o kształcie prostokąta.

Zwrot, z jakim działa obciążenie na belkę fikcyjną ustalamy w następujący sposób: Jeśli wykres momentów gnących na belce rzeczywistej był sporządzony nad osią belki, zwrot obciążenia kierujemy do góry. Jeśli wykres momentów na belce rzeczywistej był sporządzony pod osią belki, zwrot obciążenia kierujemy w dół. 
Belka fikcyjna obciążona obciążeniem o kształcie momentu na belce rzeczywistej
Rys. 5 Belka fikcyjna obciążona obciążeniem o kształcie momentu na belce rzeczywistej

Następnie rysujemy wypadkową siłę ciężkości z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego oraz oznaczamy na belce fikcyjnej włókna spodnie

Wypadkowa siła ciężkości z obciążenia ciągłego na belce fikcyjnej
Rys. 6 Wypadkowa siła ciężkości z obciążenia ciągłego na belce fikcyjnej

Ugięcie belki w punkcie A zgodnie z zasadami metody obciążeń wtórnych to wartość momentu gnącego na belce fikcyjnej obliczonego w punkcie A podzielonego przez moduł Younga i moment bezwładności przekroju.

Wartość momentu gnącego obliczamy, stosując kryteria znakowania momentów gnących. Jeśli włókna spodnie są rozciągane, moment znakujemy dodatnio. Jeśli włókna spodnie są ściskane, moment znakujemy ujemnie.
Obliczenie przemieszczenia punktu A
Rys. 7 Obliczenie przemieszczenia punktu A

Odległość wypadkowej od punktu A to 3 m. Siła wypadkowa wygina naszą belkę do góry, a co za tym idzie, włókna spodnie oznaczone na belce są rozciągane. Zgodnie z kryteriami znakowania wypadkowa tworzy w punkcie A moment dodatni. Na belce nie ma innych obciążeń, które tworzą moment gnący w punkcie A.

Po obliczeniu momentu gnącego w punkcie A możemy podstawić wartości liczbowe modułu Younga i wyznaczoną wartość  momentu bezwładności.

Jeśli chcesz nauczyć się obliczać moment bezwładności kliknij tutaj .
Podstawienie modułu Younga i momentu bezwładności
Rys. 8 Podstawienie modułu Younga i momentu bezwładności

Aby wykonać dzielenie musimy dokonać przekształcenia jednostek . Po wykonaniu rachunku jednostek i zakończeniu procedury metody obciążeń wtórnych otrzymujemy wynik przemieszczenia pionowego (ugięcia) punktu A w centymetrach.