Metoda Clebscha - I

W tym filmie wyjaśnię Wam, do czego służy metoda Clebscha. Pokaże na przykładzie z życia, jakie parametry obliczamy przy użyciu tej metody. Napisze równanie metody Clebscha i wyjaśnię wszystkie jego składniki.

Pierwszy odcinek kursu online, pokaże Wam, w jakim celu w ogólnie pojętej technice wykorzystujemy metodę Clebscha. Wyjaśnię również czym różnic się ugięcie belki od kąta ugięcia (kąta obrotu).

W pierwszym przykładzie kursu obliczymy ugięcie i kąt obrotu belki wspornikowej. Belka obciążona jest siłą skupioną i momentem skupionym. Przekrój belki wykonany jest ze stali o module Younga równym 210 GPa. Przekrój ma kształt prostokąta o wymiarach 10x25 cm.

W pierwszej kolejności obliczam ugięcie swobodnego końca wspornika. Dzielę belkę na przedziały charakterystyczne. Dla poszczególnych przedziałów charakterystycznych wyznaczam funkcje momentów gnących.

Po zapisaniu z podziałem na poszczególne przedziały funkcji momentu gnącego dla całej belki całkuję ją dwukrotnie. Pierwsza całka z funkcji momentu gnącego to funkcja kąta obrotu a druga całka z funkcji momentu gnącego to funkcja linii ugięcia belki.

Aby otrzymać pełne równania linii ugięcia i kąta obrotu, na podstawie warunków brzegowych obliczam stałe całkowania. Po wyznaczeniu stałych całkowania obliczam wartości ugięcia i kąta ugięcia we wskazanych w poleceniu punktach.

W przykładzie nr 2 obliczę za pomocą metody Clebscha ugięcie w środku rozpiętości belki swobodnie podpartej oraz kąt obrotu na jednej z podpór. Belka obciążona jest siłą skupioną w połowie swojej rozpiętości.

Zgodnie z podstawową zasadą metody Clebscha wykonam dwa przekroje lewostronne przez przedziały charakterystyczne. Metoda Clebscha nie pozwala nam na zmianę strony przekroju w trakcie zapisu funkcji momentów gnących. 

Po zapisaniu funkcji momentów gnących oraz równania Clebscha wykonam dwukrotne całkowanie. Po otrzymaniu funkcji kąta obrotu z pierwszego całkowania i funkcji linii ugięcia z drugiego całkowania zapisuje warunki brzegowe dla belki swobodnie podpartej.

Uzyskany wynik wymaga podstawienia wartości modułu Younga i momentu bezwładności. Obliczam moment bezwładności, wykonuje przeliczenie jednostek i uzyskuje ostateczną wartość ugięcia i kąta obrotu dla belki swobodnie podpartej.

W kolejnym przykładzie obliczę ugięcie swobodnego końca belki wspornikowej obciążonej obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym i momentem skupionym. Przekrój belki został wykonany z dwuteownika stalowego IPN 220. Jest to profil walcowany, którego parametry fizyczne znajdziemy w tablicach elementów stalowych.

W tym przykładzie szczególnie zwrócę uwagę na sposób uwzględnienia momentu skupionego w zapisie funkcji momentów gnących dla całej belki. W celu uwzględnienia właściwej lokalizacji momentu skupionego na belce, co bez wątpienia ma wpływ na kształt linii ugięcia i funkcji kąta ugięcia musimy pomnożyć jego wartość przez odległość podniesioną do potęgi zerowej. Jest to jedna z reguł postępowania w metodzie Clebscha.

Następnie jak w poprzednich przykładach dwukrotnie całkuje funkcję momentu gnącego, zapisuje warunki brzegowe oraz obliczam stałe całkowania. Mając pełną postać funkcji linii ugięcia i kąta obrotu obliczam zgodnie z poleceniem zadania ugięcie swobodnego końca wspornika.

W tym przykładzie obliczę kąt obrotu (kąt ugięcia) belki podpartej na podporze teleskopowej oraz podporze przegubowo przesuwnej. Belka jest obciążona obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym oraz momentem skupionym.

Tym razem przedmiotem zadania jest belka bez wartości liczbowych. Zarówno obciążenia czynne jak i wymiary belki są określone za pomocą symboli. Jest to często spotykana sytuacja na egzaminach z wytrzymałości materiałów.

Metoda postępowania będzie dokładnie taka sama jak w belkach obliczanych za pomocą metody Clebscha z wartościami liczbowymi. Zaczynam od wypisania funkcji momentów gnących dla poszczególnych przedziałów oraz scalam tę funkcję, dzieląc ją na odpowiednie przedziały charakterystyczne.

Całkuje dwukrotnie oraz na podstawie warunków brzegowych dla belki opartej na teleskopie wyznaczam wartości stałych całkowania. Moduł Younga i moment bezwładności są również zdefiniowane jako wartości stałe.

W ostatnim, najtrudniejszym przykładzie w tej części kursu z zakresu metody Clebscha obliczymy ugięcie belki swobodnie podpartej obciążonej obciążeniem ciągłym i momentem skupionym. Belka jest wykonana z profilu stalowego walcowanego UPN 200 nazywanego potocznie ceownikiem.

Sytuacja w tym przykładzie jest specyficzna, z uwagi na to, że obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone nie dochodzi do żadnego z dwóch końców belki. W takiej sytuacji zgodnie z zasadami metody Clebscha musimy dociągnąć obciążenie ciągłe do końca belki oraz jednocześnie odjąć obciążenie ciągłe na odcinku, na którym je dodaliśmy.

Zastosowanie powyższej zasady metody Clebscha spowoduje znaczące różnice w funkcji momentu gnącego. Bez zmian w porównaniu do pozostałych przykładów pozostanie część matematyczna zadania tj. dwukrotne całkowanie funkcji momentu w celu otrzymania funkcji kąta obrotu i funkcji linii ugięcia dla belki swobodnie podpartej. 

Po ustaleniu warunków brzegowych i obliczeniu stałych całkowania podstawiam do funkcji linii ugięcia współrzędną punktu B oraz obliczam wartość ugięcia. Po podstawieniu odczytanego z tablic elementów stalowych momentu bezwładności ceownika oraz modułu Younga dla stali otrzymujemy wartość ugięcia belki w zadanym punkcie.