Twierdzenie Castigliano (belki) - I

W tym kursie nauczę Was jak obliczać przemieszczenia w belkach za pomocą Twierdzenia Castigliano.

Udostępnij:

Ostatnio kupiło: 5 osób

Czego się nauczysz?

  • Obliczać ugięcie i kąt obrotu w dowolnym punkcie belki za pomocą Twierdzenia Castigliano
  • Obliczać pochodne cząstkowe z funkcji momentu gnącego na belce
  • Wprowadzać siłę fikcyjną (uogólnioną) lub moment skupiony fikcyjny (uogólniony) na kierunku szukanego przemieszczenia
  • Obliczać rzeczywiste wartości ugięcia i kąta ugięcia dla belek stalowych o przekrojach walcowanych (dwuteownik, ceownik)
  • Posługiwać się tablicami elementów stalowych (walcowanych)

Program kursu

Rozwiń wszystko

Całkowity czas: 2:06:02

+ 1. Wstęp 0:01:23

W pierwszym odcinku kursu wyjaśnię Wam, do czego służy Twierdzenie Castigliano. Pokaże jak interpretować uzyskane za pomocą metody Castigliano wartości przemieszczeń pionowych (ugięć) i kątów obrotu (kątów ugięcia) dla belek

Na przykładzie laboratoryjnym zginania belki betonowej swobodnie podpartej omówię zastosowanie wyników uzyskanych za pomocą Twierdzenia Castigliano w budownictwie oraz innych naukach inżynieryjnych. 

Wytłumaczę, jak ważna jest znajomość metod pozwalających na obliczanie ugięcia i kąta obrotu belek w kontekście sprawdzania stanu granicznego nośności w procesie projektowania konstrukcji.

W tym odcinku kursu online obliczę ugięcie i kąt obrotu belki wspornikowej w zadanych punktach przy wykorzystaniu twierdzenia Castigliano. Zacznę od obciążenia belki siłą fikcyjną a w drugiej części zadania momentem fikcyjnym. Następnie obliczam reakcje podporowe we wsporniku, uwzględniając przyłożoną siłę fikcyjną lub moment fikcyjny.

Po obliczeniu reakcji podporowych wyznaczam funkcje momentów gnących w poszczególnych przedziałach charakterystycznych. Następnie obliczam pochodną cząstkową z funkcji momentów gnących po zmiennej sile fikcyjnej lub momencie fikcyjnym.

Całkując funkcję momentów, mnożoną przez pochodną cząstkową funkcji momentów po zmiennej fikcyjnej, otrzymuje wartość ugięcia i kąta obrotu belki wspornikowej we wskazanym punkcie.

Po podstawieniu wartości momentu bezwładności przekroju belki i modułu Younga dla materiału, z którego została wykonana, otrzymuje rzeczywiste wartości ugięcia i kąta obrotu.

Tym razem wykorzystując Twierdzenie Casigliano obliczymy ugięcie i kąt obrotu we wskazanych punktach belki swobodnie podpartej. Belka obciążona jest siłą skupioną w środki swojej rozpiętości.

Zgodnie z zasadami Twierdzenia Castigliano zamieniam siłę pionową obciążającą belkę w punkcie, w którym szukamy przemieszczenia pionowego na siłę fikcyjną. Następnie obliczam reakcje podporowe i wyznaczam funkcje momentów gnących w poszczególnych przedziałach charakterystycznych belki swobodnie podpartej.

Stosując metodę Castigliano obliczam pochodne cząstkowe, a następnie zapisuje całkę oznaczoną po długości przedziałów charakterystycznych wyznaczonych na belce. Po zakończeniu całkowania i podstawieniu parametrów fizycznych przekroju (momentu bezwładności) oraz stałej materiałowej (moduł Younga) otrzymuje wartości ugięcia i kąta ugięcia belki w zadanym punkcie.

W tym odcinku kursu obliczę za pomocą metody Castigliano ugięcie (przemieszczenie pionowe) swobodnego końca wspornika. Belka jest obciążona obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym i momentem skupionym. Belka została wykonana z dwuteownika stalowego IPN 200.

W tym przypadku, na końcu belki wspornikowej nie ma przyłożonej siły na kierunku szukanego przemieszczenia. Mając to na uwadze, zgodnie z zasadami Twierdzenia Castigliano w a kierunku szukanego przemieszczenia przykładam siłę fikcyjną pionową o dowolnym zwrocie.

Jeśli po zakończeniu obliczeń wartość przemieszczenia (ugięcia) wyjdzie dodatnia, to oznacza, że przemieszczenie belki w tym punkcie jest zgodne z założonym zwrotem siły fikcyjnej.

Po wykonaniu całkowania i obliczeniu wartości szukanego przemieszczenia pokaże, w jaki sposób przy pomocy tablic elementów stalowych ustalić parametry fizyczne (moment bezwładności) dwuteownika stalowego IPN 200.

Na końcu po podstawieniu danych liczbowych i wykonaniu rachunku jednostek otrzymamy wartość liczbową ugięcia swobodnego końca wspornika.

W przykładzie nr 4 kursu online obliczę za pomocą Twierdzenia Castigliano kąt ugięcia (kąt obrotu) belki podpartej na podporze teleskopowej (łyżwa) oraz na podporze przegubowo przesuwnej. Tym razem belka jest obciążona obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym oraz momentem skupionym.

W odróżnieniu od wcześniejszych przykładów, w temacie zadania zamiast wartości liczbowych występują symbole. Tego typu zadania bardzo często występują na kolokwiach i egzaminach z wytrzymałości materiałów. Trudność zadania polega na rozróżnianiu stałych od zmiennych. Ułatwieniem jest brak konieczności przeliczania jednostek.

Poza powyższymi różnicami procedura postępowania w metodzie Castigliano jest standardowa. 

W ostatnim przykładzie w kursie obliczę kąt obrotu belki opartej na wsporniku za pomocą metody Castigliano. Swobodny koniec belki obciążam momentem skupionym fikcyjnym oraz bez obliczania reakcji podporowych wyznaczam funkcje momentów gnących w poszczególnych przedziałach charakterystycznych belki.

Po obliczeniu pochodnych cząstkowych z funkcji momentów po zmiennym momencie fikcyjnym zapisuje całkę oznaczoną w przedziałach charakterystycznych. Po wykonaniu całkowania otrzymujemy wynik kąta obrotu w zadanym punkcie. Wartość kąta otrzymujemy w radianach, ale w łatwy sposób pokaże Wam jak przeliczyć tę wartość na stopnie.

Wymagania

  • Opanowane zagadnienia z kursu: Reakcje w Belkach - I.
  • Opanowane zagadnienia z kursu: Wykresy sił wewnętrznych (metoda funkcji) - I
  • Opanowane zagadnienia z kursu: Wykresy sił wewnętrznych (metoda funkcji) - II
  • Opanowane zagadnienia z kursu: Środki ciężkości figur płaskich
  • Opanowane zagadnienia z kursu: Momenty bezwładności figur płaskich - I
  • Umiejętność obliczania podstawowych całek i pochodnych
  • Działający kalkulator naukowy
  • Chęci, pozytywne nastawienie i trochę zaangażowania :)

Opis kursu

Po obejrzeniu tego kursu nauczycie się jak wyznaczać przemieszczenia pionowe (ugięcia) oraz kąty obrotu (kąty ugięcia) w belkach wykorzystując Twierdzenie Castigliano. Obliczanie przemieszczeń i kątów obrotu metodą Castigliano polega na wprowadzaniu na belkę siły fikcyjnej lub momentu fikcyjnego na kierunku szukanego przemieszczenia. 

Jeśli szukamy przemieszczenia pionowego jakiegoś punktu na belce, to w tym punkcie przykładamy fikcyjną siłę pionową. Jeśli szukamy kąta obrotu, to w tym punkcie przykładamy fikcyjny moment skupiony. Jeśli w punkcie, w którym szukamy, na przykład przemieszczenia pionowego jest już siła pionowa, to zastępujemy tę siłę siłą fikcyjną (siłą wirtualną).

Metoda Castigliano służąca do obliczania ugięć i kątów obrotu w belkach jest szczególnie istotna w procesie projektowania konstrukcji stalowych, betonowych czy drewnianych. Metoda Castigliano odgrywa również znaczącą rolę w mechanice i budowie maszyn, na przykład przy projektowaniu wałów maszynowych. Sprawdzanie stanu granicznego użytkowalnośći w budownictwie to etap procesu projektowania, w którym szczególnie istotna jest znajomość metod pozwalających na obliczanie przemieszczeń wybranych punktów konstrukcji. 

W tym kursie nauczę Was jak rozpisać funkcję momentów gnących dla poszczególnych przedziałów charakterystycznych w belce. Następnie pokaże Wam jak obliczyć pochodną cząstkową po zmiennej, którą jest wprowadzona siła lub moment fikcyjny. Następnie całkując funkcję momentu gnącego, przemnożoną przez pochodną tej funkcji po zmiennej fikcyjnej, pokaże jak szybko i bezbłędnie obliczyć wartość ugięcia lub kąta obrotu na belce. 

W kursie pokaże przykłady obliczania ugięć i kątów obrotu prawdziwych belek o przekrojach dwuteowych i teowych wykonanych ze stali walcowanej.

O autorze kursu

rafa-mstowski-avatar

Rafał Mstowski

Jestem zawodowym korepetytorem z ponad 15 letnim doświadczeniem w nauczaniu przedmiotów technicznych. Używam prostego języka i podaje przykłady z życia. Tłumaczę i rozwiązuję zadania krok po kroku, aż wszystko zrozumiesz.
Zobacz profil

Oceny i recenzje uczniów

Razem z korepetytorami pracujemy nad jak najlepszą jakością kursów, dlatego Twoja opinia jest dla nas bardzo ważna.

Aby dodać opinię, musisz być zalogowany.

Zaloguj się
Loading...

Tagi:

utwierdzenie newton wektor siły podpora belka mostowa układ w równowadze łożysko przegubowe przesuwne schemat statyczny suma rzutów sił moment skręcający moment w punkcie wzajemność oddziaływań statyczna wyznaczalność teleskop podpora przegubowa przesuwna obciążenie ciągłe moment gnący reakcja podporowa wspornik belka statycznie wyznaczalna statyka moment siły siła skupiona moment budowa maszyn łożysko przegubowe nieprzesuwne belka wspornikowa rzut siły akcja i reakcja łyżwa równania równowagi siła belka statyczna suma momentów płaski układ sił wektor zmiana zwrotu reakcji jednostka momentu obciążenie połączenie przegubowe politechnika para sił znak momentu belka swobodnie podparta podpora przegubowa nieprzesuwna siła wypadkowa belka reakcje podpora teleskopowa moment skupiony znak siły budownictwo przegub model statyczny równowaga układu sił reakcje most stalowy znakowanie momentu podpora wspornikowa obciążenie równomiernie rozłożone siła pozioma trzecia zasada dynamiki przęsło mostu belka układ równań równowagi punkt podparcia siła pionowa stopnie swobody siła razy ramię wektor momentu łożysko przegubowe statyka konstrukcji reakcje w podporze łożysko przesuwne siła na ramieniu wytrzymałość materiałów rozkład na składowe składowa wektora siły siła pod kątem belka jednoprzęsłowa składowa pionowa zerowanie się momentów reakcje w przegubie rozkład reakcji podpora łyżwa składowe reakcji podpora teleskop włókna spodnie włókna ściskane kryteria znakowania przekrój lewostronny siły wewnętrzne siły bierne włókna oznaczone przekrój prawostronny przedział charakterystyczny włókna uprzywilejowane wykres momentu belka zginana włókna rozciągane dwuteownik stalowy
Twierdzenie Castigliano (belki) - I

79.99 zł

Bezpieczna płatność
  • 7 filmów
  • ponad 126 min materiału wideo
  • bez ograniczeń czasowych
  • dostęp 24/7 przez stronę
  • obsługa urządzeń mobilnych

79.99 zł