Twierdzenie Castigliano (belki) - I

W pierwszym odcinku kursu wyjaśnię Wam, do czego służy Twierdzenie Castigliano. Pokaże jak interpretować uzyskane za pomocą metody Castigliano wartości przemieszczeń pionowych (ugięć) i kątów obrotu (kątów ugięcia) dla belek. 

Na przykładzie laboratoryjnym zginania belki betonowej swobodnie podpartej omówię zastosowanie wyników uzyskanych za pomocą Twierdzenia Castigliano w budownictwie oraz innych naukach inżynieryjnych. 

Wytłumaczę, jak ważna jest znajomość metod pozwalających na obliczanie ugięcia i kąta obrotu belek w kontekście sprawdzania stanu granicznego nośności w procesie projektowania konstrukcji.

W tym odcinku kursu online obliczę ugięcie i kąt obrotu belki wspornikowej w zadanych punktach przy wykorzystaniu twierdzenia Castigliano. Zacznę od obciążenia belki siłą fikcyjną a w drugiej części zadania momentem fikcyjnym. Następnie obliczam reakcje podporowe we wsporniku, uwzględniając przyłożoną siłę fikcyjną lub moment fikcyjny.

Po obliczeniu reakcji podporowych wyznaczam funkcje momentów gnących w poszczególnych przedziałach charakterystycznych. Następnie obliczam pochodną cząstkową z funkcji momentów gnących po zmiennej sile fikcyjnej lub momencie fikcyjnym.

Całkując funkcję momentów, mnożoną przez pochodną cząstkową funkcji momentów po zmiennej fikcyjnej, otrzymuje wartość ugięcia i kąta obrotu belki wspornikowej we wskazanym punkcie.

Po podstawieniu wartości momentu bezwładności przekroju belki i modułu Younga dla materiału, z którego została wykonana, otrzymuje rzeczywiste wartości ugięcia i kąta obrotu.

Tym razem wykorzystując Twierdzenie Casigliano obliczymy ugięcie i kąt obrotu we wskazanych punktach belki swobodnie podpartej. Belka obciążona jest siłą skupioną w środki swojej rozpiętości.

Zgodnie z zasadami Twierdzenia Castigliano zamieniam siłę pionową obciążającą belkę w punkcie, w którym szukamy przemieszczenia pionowego na siłę fikcyjną. Następnie obliczam reakcje podporowe i wyznaczam funkcje momentów gnących w poszczególnych przedziałach charakterystycznych belki swobodnie podpartej.

Stosując metodę Castigliano obliczam pochodne cząstkowe, a następnie zapisuje całkę oznaczoną po długości przedziałów charakterystycznych wyznaczonych na belce. Po zakończeniu całkowania i podstawieniu parametrów fizycznych przekroju (momentu bezwładności) oraz stałej materiałowej (moduł Younga) otrzymuje wartości ugięcia i kąta ugięcia belki w zadanym punkcie.

W tym odcinku kursu obliczę za pomocą metody Castigliano ugięcie (przemieszczenie pionowe) swobodnego końca wspornika. Belka jest obciążona obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym i momentem skupionym. Belka została wykonana z dwuteownika stalowego IPN 200.

W tym przypadku, na końcu belki wspornikowej nie ma przyłożonej siły na kierunku szukanego przemieszczenia. Mając to na uwadze, zgodnie z zasadami Twierdzenia Castigliano w a kierunku szukanego przemieszczenia przykładam siłę fikcyjną pionową o dowolnym zwrocie.

Jeśli po zakończeniu obliczeń wartość przemieszczenia (ugięcia) wyjdzie dodatnia, to oznacza, że przemieszczenie belki w tym punkcie jest zgodne z założonym zwrotem siły fikcyjnej.

Po wykonaniu całkowania i obliczeniu wartości szukanego przemieszczenia pokaże, w jaki sposób przy pomocy tablic elementów stalowych ustalić parametry fizyczne (moment bezwładności) dwuteownika stalowego IPN 200.

Na końcu po podstawieniu danych liczbowych i wykonaniu rachunku jednostek otrzymamy wartość liczbową ugięcia swobodnego końca wspornika.

W przykładzie nr 4 kursu online obliczę za pomocą Twierdzenia Castigliano kąt ugięcia (kąt obrotu) belki podpartej na podporze teleskopowej (łyżwa) oraz na podporze przegubowo przesuwnej. Tym razem belka jest obciążona obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym oraz momentem skupionym.

W odróżnieniu od wcześniejszych przykładów, w temacie zadania zamiast wartości liczbowych występują symbole. Tego typu zadania bardzo często występują na kolokwiach i egzaminach z wytrzymałości materiałów. Trudność zadania polega na rozróżnianiu stałych od zmiennych. Ułatwieniem jest brak konieczności przeliczania jednostek.

Poza powyższymi różnicami procedura postępowania w metodzie Castigliano jest standardowa. 

W ostatnim przykładzie w kursie obliczę kąt obrotu belki opartej na wsporniku za pomocą metody Castigliano. Swobodny koniec belki obciążam momentem skupionym fikcyjnym oraz bez obliczania reakcji podporowych wyznaczam funkcje momentów gnących w poszczególnych przedziałach charakterystycznych belki.

Po obliczeniu pochodnych cząstkowych z funkcji momentów po zmiennym momencie fikcyjnym zapisuje całkę oznaczoną w przedziałach charakterystycznych. Po wykonaniu całkowania otrzymujemy wynik kąta obrotu w zadanym punkcie. Wartość kąta otrzymujemy w radianach, ale w łatwy sposób pokaże Wam jak przeliczyć tę wartość na stopnie.