Udostępnij:

Wytrzymałość Materiałów

Obliczanie przemieszczeń metodą Maxwella Mohra

Jak obliczyć przemieszczenie (ugięcie) swobodnego końca belki wspornikowej za pomocą metody Maxwella Mohra całkując graficznie sposobem Wereszczagina

W tym artykule obliczymy przemieszczenie (ugięcie) swobodnego końca belki wspornikowe j za pomocą metody  Maxwella Mohra . Całkowanie w metodzie Maxwella Mohra wykonamy za pomocą wzoru Wereszczagina. Całkowanie sposobem Wereszczagina jest popularnie nazywane całkowaniem graficznym .

Poleceniem zadania, które krok po kroku rozwiążemy, jest wyznaczenie ugięcia belki wspornikowej w punkcie A. Punkt A jest zlokalizowany na swobodnym końcu belki wspornikowej .

Ugięcie swobodnego końca belki wspornikowej metodą Maxwella Mohra
Rys. 1 Ugięcie swobodnego końca belki wspornikowej metodą Maxwella Mohra

Pierwszym krokiem, jaki należy wykonać, stosując metodę  Maxwella Mohra , jest sporządzenie wykresu momentów gnących od obciążeń rzeczywistych na belce. Belka w tym zadaniu jest obciążona momentem skupionym przyłożonym na jej swobodnym końcu. Stosując metodę punktów charakterystycznych , sporządzamy wykres momentu gnącego od obciążeń rzeczywistych na belce.

Etap sporządzania wykresu momentów gnących od obciążeń rzeczywistych nazywam "STAN P" gdzie symbol P oznacza obciążenia rzeczywiste.

Wykres momentów gnących od obciążeń rzeczywistych na belce
Rys. 2 Wykres momentów gnących od obciążeń rzeczywistych na belce

Sporządzony wykres momentów gnących oznaczam symbolem Mp.

Jeśli chcesz nauczyć się sporządzać wykresy momentów gnących metodą punktów charakterystycznych (metoda szybka), kliknij tutaj .

Następny krok, jaki wykonujemy w  Maxwella Mohra to obciążenie belki siłą wirtualną jednostkową na kierunku szukanego przemieszczenia. Szukamy pionowego przemieszczenia ( ugięcia belki ) w punkcie "A" a co za tym idzie, przykładamy w punkcie A siłę pionową o wartości jednostkowej .  Ten etap zadania oznaczam jako "STAN X1=1, P=0" mając na uwadze, że wyzerowałem wszystkie obciążenia rzeczywiste na belce.

Zwrot siły jednostkowej jest dowolny. Kierunek siły jednostkowej musi się pokrywać z kierunkiem szukanego przemieszczenia. Wszystkie obciążenia rzeczysite usuwamy (zerujemy).

Po obciążeniu belki siłą jednostkową rysujemy wykres momentów gnących.

 

Wykres momentów gnących od siły wirtualnej jednostkowej
Rys. 3 Wykres momentów gnących od siły wirtualnej jednostkowej

Wykres momentu gnącego pochodzący od obciążenia wirtualnego oznaczam symbolem Mx1. 

Kiedy mamy już sporządzone wykresy momentów gnących od obciążeń rzeczywistych i od obciążeń wirtualnych możemy przystąpić do ostatniego etapu zadania tj. do obliczenia całki sposobem Wereszczagina (całkowanie graficzne).

Całkowanie graficzne zgodnie ze wzorem Wereszczagina polega na mnożeniu pola wykresu momentów gnących przez rzędną wykresu momentów gnących znajdującą się pod środkiem ciężkości tego pola.

Całkowanie graficzne sposobem Wereszczagina w metodzie Maxwella Mohra
Rys. 4 Całkowanie graficzne sposobem Wereszczagina w metodzie Maxwella Mohra

 

Zaczynam od narysowania jeden pod drugim wykresu momentów gnących od obciążeń rzeczywistych (na górze) i wykresu momentów gnących od obciążeń wirtualnych jednostkowych (na dole).

Jeśli wykresy momentów od obciążeń rzeczywistych są wykresami funkcji liniowej lub stałej, to wtedy całkowanie jest przemienne (nie ma znaczenia, który wykres jest wyżej, a który niżej).
Jeśli wykres momentów od obciążeń rzeczywistych jest wykresem funkcji kwadratowej (parabola), to zawsze musi być wyżej w całkowaniu graficznym. Z tego wykresu zawsze będziemy obliczać pole, nigdy nie rzędną.

W wykresie, który znajduje się wyżej, zaznaczam w środku ciężkości pola wykresu wypadkową siłę ciężkości (symbol W1). Wartość tej wypadkowej siły ciężkości jest równa polu wykresu. Na wykresie, który znajduje się niżej, pod punktem zaczepienia siły wypadkowej, zaznaczam rzędną (symbol n1).

Wartość wypadkowej siły ciężkości W1 obliczam ze wzoru na pole prostokąta. Wartość rzędnej n1 obliczam, wykorzystując Twierdzenie Talesa w trójkącie prostokątnym. Następnie mnożę wypadkową przez rządną oraz dziele w mianowniku przez iloczyn modułu Yonga i momentu bezwładności przekroju.

Jeśli wykres momentu od obciążeń rzeczywistych jest narysowany po tej samej stronie osi poziomej co wykres momentu od obciążeń wirtualnych, to wynik całkowania graficznego jest dodatni. Jeśli powyższe wykresy są po przeciwnych stronach osi, to wynik całkowania graficznego jest ujemny.  

W ostatnim etapie zadania, aby uzyskać liczbową wartość ugięcia belki w punkcie A, do uzyskanego wzoru podstawiamy wartość moduły Younga oraz momentu bezwładności przekroju względem osi głównej centralnej , wokół której belka jest zginana.

Podstawienie do wzoru na ugięcie belki momentu bezwładności i modułu Younga
Rys. 5 Podstawienie do wzoru na ugięcie belki momentu bezwładności i modułu Younga

 

W pierwszym kroku obliczamy moment bezwładności przekroju prostokątnego belki zginanej.

Jeśli chcesz nauczyć się obliczać momenty bezwładności figur płaskich, kliknij tutaj .

Po obliczeniu wartości momentu bezwładności wstawiamy do mianownika wzoru jego wartość oraz wartość modułu Younga materiału, z którego wykonana jest belka. Po przeliczeniu jednostek uzyskujemy wartość ugięcia belki wspornikowej na jej swobodnym końcu w centymetrach.