Badanie stabilności układów regulacji to jedna z częściej weryfikowanych umiejętności podczas zdobywania wykształcenia związanego z automatyką. Dlaczego tak często sprawia tyle problemów? Nie wiem, dlatego przedstawię jedno z takich zadań w tym artykule i pokażę, że wykorzystywanie kryterium Routh'a do badania stabilności układów może być proste.
Do badania stabilności układów potrzebujemy znać wielomian charakterystyczny , czyli mianownik transmitacji operatorowej naszego układu. Zazwyczaj jest on podany w zadaniu, jak na rysunku powyżej.
Możemy dostrzec, że wszystkie współczynniki są dodatnie, co oznacza, że pierwszy warunek jest spełniony. Aby zweryfikować drugi warunek, musimy zbudować tabelę, pokazaną poniżej.
W wielomianie charakterystycznym przy s do odpowiedniej potęgi, znajdują się współczynniki - oznaczone zostały one od a4 do a0 zgodnie z powyższym rysunkiem. Tabelkę tworzymy zaczynając od lewej kolumny, w której wpisujemy najwyższą potęgę i w każdym kolejnym wierszu potęgę niższą. Następnie uzupełniamy ją elementami od a4 do a0 zgodnie z instrukcją przedstawioną w prawym dolnym rogu, czyli poruszamy się o jeden wiersz w dół i do góry w prawo. Następnie znów w dół i do góry w prawo. Gdyby elementów było więcej, to uzupełnialibyśmy tabelę analogicznie.
Ilość pozostałych elementów będziemy wyznaczać wykorzystując regułę schodków. Oznacza to, że musimy mieć dwa wiersze, żeby przesunąć się o jedną kolumnę w lewo. Zostało to pokazane poniżej.
Elementy tabeli od a4 do a0 są nam znane, wystarczy je uzupełnić. Pozostałe elementy będziemy musieli obliczyć. Zanim to zrobimy, uzupełnijmy tabelę o wartości, które możemy odczytać z wielomianu charakterystycznego.
Pierwsze dwa wiersze zostały uzupełnione o wartości pochodzące z wielomianu charakterystycznego.
Wartą uwagi regułą jest to, że elementy narożne możemy przepisać zgodnie ze strzałkami dorysowanymi na powyższym rysunku. Oznacza to, że elementy b2 oraz d1 możemy zastąpić cyfrą 2. Pozostanie nam wtedy obliczenie tylko dwóch parametrów - b1 oraz c1. Wykonajmy zatem wspomniane przepisanie i poznajmy wzory na wyznaczenie pozostałych dwóch parametrów.
Mając powyższe informacje jesteśmy w stanie wyznaczyć pozostałe parametry. Obliczmy je zatem i uzupełnijmy tabelę.
Udało nam się zatem wyznaczyć wszystkie elementy tabeli i zakończyć jej uzupełnianie. Pozostało nam poddać analizie pierwszą kolumnę z wartościami, a dokładniej określenie czy są to wartości dodatnie, czy ujemne. Ja preferuję zapisywać znaki po lewej stronie tabeli, jak zostało to pokazane poniżej.
Korzystając z powyższej informacji i rysynku siódmego możemy stwierdzić, że nasz układ jest stabilny, ponieważ spełnione są oba warunki.
Powyższe zadanie prezentuje jeden prosty przykład i główną zasadę rozwiązywania układów. Jednak możliwości jest dużo więcej - mogą pojawic się elementy zerowe, całe wiersze będące zerami, możemy badać układ pod kątem lokowania biegunów na płaszczyźnie - jeśli chciałbyś poznać wszystkie możliwości jakie daje badanie układu korzystając z kryterium stabilności Routh'a, zachęcam do sprawdzenia kursu "Kryterium stabilności Routh'a" !
5.0
