Charakterystyki Bodego, zwane inaczej charakterystykami logarytmiczno- częstotliwościowymi, to jedne z częściej wykorzystywanych narzędzi teorii sterowania.
Nie przedłużając tego wpisu, od razu przejdziemy do przykładu. Do opisu układu stosujemy transmitancję operatorową, zatem przyjmiemy to jako punkt wyjściowy do realizacji zadania.
W pierwszej kolejności musimy taką tramistancję przekształcić do postaci widmowej. Najprostszy sposób polega na tym, że zamiast s podstawiamy jw . W celu ułatwienia analizy układu, rozbijemy całą transmitancją na składowe.
Zgodnie z powyższym rysunkiem, dokonujemy przekształceń transmitancji składowych z postaci operatorowej do widmowej.
Dwie pierwsze transmitancje mają formę, którą możemy dalej akceptować, niestety trzecia z nich posiada element urojony j. Musimy dokonać dalszego przekształcenia tak, aby element ten pojawił się w liczniku. Dokonamy tego poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez wyraz sprzężony do mianownika. Graficznie przedstawiam to poniżej.
W oparciu o powyżej wyznaczone transmitancje widmowe, wyznaczymy również cztery parametry związane z charakterystykami układów - część rzeczywistą P, część urojoną Q, amplitudę A oraz przesunięcie fazowe \(\varphi \) . Interpretacja graficzna tych parametrów przedstawiona została poniżej.
Wzory jakie mogą nam się przydać przy dalszej realizacja zadania również podaję poniżej
Możemy zatem wykorzystać wszystkie zgromadzone informacje i zastosować je do każdej z trzech wyznaczonych transmitancji. Dla pierwszej z nich obliczenia będą najprostsze, ale nauczymy się korzystać już powyższych wzorów.
Tak samo należy postąpić w przypadku drugiej transmitancji
Powyższy przykład jest już nieco trudniejszy, dlatego omówie co się w nim zadziało.
Wyznaczenie części rzeczywistej i urojonej było banalne, wyznaczenie wzoru na amplitudę i kąt phi również. Problem mógł się pojawić podczas próby wyznaczenia 20 log z pierwiastka. Należy tutaj zwrócić uwagę, że omega to pulsacja i zmienia się ona logarytmicznie. W takiej sytuacji możemy spróbować przeanalizować dwa przypadki - pierwszy, kiedy omega jest dużo mniejsza od jedynki, wtedy otrzymamy \(20 log \sqrt1\) i wynik będzie równy 0. W drugim przypadku, kiedy omega jest dużo większa od jedynki otrzymamy \(20 log \omega \) . Graficzną interpretację przedstawimy na koniec zadania. Przejdźmy teraz do ostatniej transmitancji.
Początek jest taki sam - korzystanie ze wzorów i wyznaczenie odpowiednich elementów. Nowinką na pewno jest to, że logarytm ma znak ujemny, ponieważ pulsacja była w mianowniku. Przybliżenie dla dwóch przypadków robimy tak samo jak dla drugiej transmitancji. Wypiszmy sobie zatem wyznaczone składowe charakterystyki logarytmiczno- częstotliwościowe.
Możemy zatem wykorzystać szablon do rysowania charakterystyk i zacząć je nanosić. Pierwsza składowa jest wartością stała, zatem będzie występować na charakterystyce amplitudowej, ale nie będzie jej na charakterystyce fazowej.
Druga składowa do momentu, kiedy \(\omega = 1\) wynosi 0, a od tego momentu zastosowanie ma wzór \(20 log \omega\) , co będzie oznaczać, że charakterystyka będzie rosła o 20dB na dekadę. Charakterystyka fazowa będzie rosnąć od dekady wcześniej niż \(\omega = 1\) , a wartość maksymalną osiągnie dekadę później. Obie charakterystyki zostały wrysowane poniżej.
Analogicznie do drugiej charakterystyki, będziemy wyznaczać trzecią, tylko będzie ona ujemna. Pulsacja od której będzie następować zmiana była równa \(\omega = 4/3 \) , co w skali logarytmicznej daje około \(log (4/3) = 0,125\)
Dla tej charakterystyki opadanie wynosiło również 20db/dekadę. Nie zaznaczałem jednak tego na wykresie, aby nie zaciemniać rysunku.
To co pozostało nam jeszcze zrobić, to wyznaczyć wypadkową charakterystykę, czyli sumujemy składowe - w tym celu zmodyfikuję nieco skalę, aby uwidocznić to, co zadzieje się w układzie.
W ten sposób mamy zakończone zadanie. Czy jest to proste? Jeśli nabierze wprawy, to z całą pewnością tak. Czy za każdym razem trzeba rozpisywać dokładnie transmitancje? Nie! Można wyznaczać charakterystyki składowe na podstawie samej transmitancji operatorowej. Jeśli chcesz się dowiedzieć jak, to zachęcam do sprawdzenia kursu "Charakterystyki Bodego (logarytmiczne amplitudowo-fazowe)" .
5.0
