Udostępnij:

Wytrzymałość Materiałów

Rama statycznie niewyznaczalna - twierdzenie Menabrei

Jak krok po kroku sporządzić wykresy momentu gnącego w ramie statycznie niewyznaczalnej metodą Menabrei?

Metoda Menabrei - zastosowanie

Twierdzenie Menabrei służy do obliczania wykresów sił wewnętrznych oraz przemieszczeń w ustrojach (układach) statycznie niewyznaczalnych i jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Castigliana .

Twierdzenie Menabrei pozwala nam na obliczenie nadliczbowych reakcji podporowych w belkach lub ramach statycznie niewyznaczalnych. Po wyznaczeniu reakcji nadliczbowych pozostałe reakcje możemy już wyznaczać przy wykorzystaniu standardowego zestawu trzech równań równowagi.

Przykład - Rama statycznie niewyznaczalna. Wyznaczanie wykresu momentów gnących.

Na przykładzie ramy statycznie niewyznaczalnej pokaże w jaki sposób wykorzystując Twierdzenie Menabrei w szybki sposób, krok po kroku narysować wykres momentu gnącego.

Mam przykład ramy statycznie niewyznaczalnej obciążonej jak na rysunku. 

Rys. 1 Rama statycznie niewyznaczalna - metoda Menabrei
Rys. 1 Rama statycznie niewyznaczalna - metoda Menabrei

Na początku zadania, muszę ustalić stopień statycznej niewyznaczalności naszego układu ( SSN ).

Stopień statycznej niewyznaczalności to ilość nadliczbowych więzów ponad niezbędne minimum wytaczające do tego aby układ był statyczny (nieruchomy).

Mogę skorzystać z następującego wzoru:

SSN = LR - LRR - LPW

Gdzie:

SSN - stopień statycznej niewyznaczalności

LR - liczba reakcji podporowychL

RR - liczba równań równowagi (na płaszczyźnie zawsze 3)

LP - liczba przegubów wewnętrznych

Rys. 2 Stopień statycznej niewyznaczalności
Rys. 2 Stopień statycznej niewyznaczalności

Korzystając z powyższego wzoru obliczyłem stopień statycznej niewyznaczalności ramy. Następnie szukam takiego przemieszczenia w ramie, które będzie mi znane.

Z całą pewnością mogę powiedzieć, że przemieszczenie poziome punktu "B" będzie równe zero. Przemieszczenie będzie zerowe ponieważ w punkcie "B" przyłożona jest podpora przegubowa przesuwna, która w tym przypadku blokuje ruch poziomy.

Rys. 3 Rama statycznie niewyznaczalna - metoda Menabrei‍
Rys. 3 Rama statycznie niewyznaczalna - metoda Menabrei‍

Następnie przyjmuje schemat zastępczy taki, w którym powyższe przemieszczenie nie będzie równe zero. Mogę w takim przypadku odrzucić podporę przegubowo przesuwną w punkcie "B" co spowoduje, że przemieszczenie poziome stanie się możliwe.

Rys. 4 Schemat zastępczy - Metoda Menabrei
Rys. 4 Schemat zastępczy - Metoda Menabrei

Przyjmując schemacie zastępczym w miejscu odjętej podpory wstawiamy siłę, którą możemy oznaczyć X1 lub po prostu symbolem reakcji Rb.

W kolejnym etapie zadania podzielę ramę na przedziały charakterystyczne w funkcji długości "x" oraz obliczam wartości reakcji podporowych w punkcie "D" w zależności od szukanego parametru Rb. W każdym przedziale charakterystycznym tj. AB , BC i CD wyznaczam funkcję momentów gnących w funkcji długości "x" w zależności od szukanego parametru Rb.

Następnie w każdym z przedziałów obliczam pochodną cząstkową z funkcji długości po nadliczbowej reakcji Rb.

Rys. 5 Funkcje momentów gnących - metoda Menabrei
Rys. 5 Funkcje momentów gnących - metoda Menabrei

Pozostał mi do wykonania ostatni etap zadania czyli obliczenie całek oznaczonych od początku do końca długości każdego z przedziałów z funkcji momentów gnących w danym przedziale przemnożonej przez obliczaną wcześniej pochodną cząstkowa tej funkcji po reakcji Rb. 

Całe nasze wyrażenie całkowe możemy przyrównać do zera wiedząc że przemieszczenie poziome w punkcie "B" naszej ramy zawsze będzie równe zero.

Rys. 6 Całkowanie funkcji momentów - metoda Menabrei
Rys. 6 Całkowanie funkcji momentów - metoda Menabrei

Z powyższego równania wyznaczamy rekcję Rb. Znając reakcję Rb możemy już bez problemu wyznaczyć pozostałe reakcje podporowe i narysować wykres momentów gnących.