Udostępnij:

Geometria wykreślna

Odwzorowanie punktów na siatce wielościanu

Artykuł wyjaśnia, w jaki sposób przenieść punkty, również punkty przebicia, leżące na ściankach wielościanów, na ich płaskie rozwinięcia czyli siatki. Zagadnienie zostanie omówione na dwóch przykładach, osobno dla graniastosłupa i ostrosłupa.

Pierwsze przedstawione w artykule zadnie polega na rozrysowaniu siatki graniastosłupa i późniejszym przeniesieniu podanych punktów P i Q na skonstruowane rozwiniecie bryły.  Co istotne, punkty zostały pokazane tylko w jednym z rzutów, a dodatkowo zostało określone ich położenie na konkretnych ściankach graniastosłupa, czyli należy uzupełnić ich brakujący widok , korzystając z zasad przynależności elementów .

Rys.1 Zadanie 1
Rys.1 Zadanie 1

Zadanie najlepiej zacząć od wyznaczenia rzeczywistych wielkości potrzebnych do narysowania siatki bryły, a następnie skonstruowania  rozwinięcia . W przypadku graniastosłupów używamy metody transformacji , ustawiając kolejne rzutnie równolegle do elementów, których wielkości szukamy. W przedstawionym przykładzie rozwinięcie jest narysowane w oparciu o przekrój normalny , wprowadzony prostopadle do krawędzi bocznych . W artykule skupię się na drugiej części zadania, czyli przenoszeniu punktów na siatkę , już po jej narysowaniu. Aby dowiedzieć się więcej na temat wyznaczania rzeczywistych wielkości i konstrukcji samych rozwinięć gorąco zachęcam do obejrzenia kursu z tego tematu.

Rys.2 Znalezienie rzeczywistych wielkości i rozwinięcie graniastosłupa
Rys.2 Znalezienie rzeczywistych wielkości i rozwinięcie graniastosłupa
Sposoby znajdowania rzeczywistych wielkości oraz zasady rysowania rozwinięć graniastosłupów i ostrosłupów zostały dokładnie wytłumaczone w kursie:
Rzeczywiste wielkości w rzutach Monge’a i rozwinięcia (siatki) wielościanów .

Po narysowaniu siatki, przechodzimy do podanych punków P i Q . Aby odwzorować je na brakującym , dolnym rzucie graniastosłupa, a także, aby później móc je przenieść na rozwinięcie, należy przeprowadzić przez punkty P i Q pomocnicze proste , które będziemy mogli zaczepić na krawędziach bryły. Teoretycznie można wykorzystać każdą, dowolną prostą, leżącą na powierzchni graniastosłupa , jednak najlepiej użyć prostych podobnych do tych, które już występują w zadaniu. Dlatego najlepszym rozwiązaniem będzie wstawienie prostych równoległych do krawędzi bocznych bryły i zaczepionych na jej podstawie (odpowiednio w punktach 1 i 2). Wówczas po przeniesieniu punktów z podstawy do przeciwnego widoku, rysujemy szukane proste z zachowaniem równoległości do krawędzi bocznych. Mając proste w obu rzutach, można bez problemu, pionowo odnieść na nie punkty P i Q.

Wprowadzamy pomocnicze proste   przez szukane punkty P i Q, równoległe do krawędzi bocznych graniastosłupa i zaczepione na jego podstawie .
Rys.3 Pomocnicze proste przez odwzorowywane punkty
Rys.3 Pomocnicze proste poprowadzone przez odwzorowywane punkty

W kolejnym kroku szukamy rzeczywistych wielkości dla wprowadzonych prostych . Po pierwsze chcemy wiedzieć, w jakiej odległości, od któregoś z wierzchołków, leżą punkty 1 i 2 na bokach podstawy . W tym celu patrzymy na rzut , w którym podstawa jest przedstawiona w swoim rzeczywistym obrazie (czyli w sąsiednim rzucie jest równoległa do rzutni ). To, od którego wierzchołka będziemy brali odległość, nie ma już większego znaczenia, jednak warto odkładać większą z dwóch wielkości (jeżeli odnosimy je cyrklem), jako że przy małych wielkościach łatwiej wtedy o niedokładność (co oczywiście zależy też od samego przyrządu). Na rysunku poniżej, potrzebne długości zostały oznaczone na niebiesko.

Rzeczywistą odległość punktów zaczepienia pomocniczych prostych na postawie (1 i 2), odczytujemy z rzutu , gdzie podstawa jest widziana na płasko, w prawdziwej wielkości .
Rys.4 Rzeczywiste wielkości dla pomocniczych prostych
Rys.4 Rzeczywiste wielkości dla pomocniczych prostych

Dodatkowo chcemy znać rzeczywistą odległość szukanych punktów P i Q od punktów zaczepienia na podstawie (1 i 2). Skoro są to długości leżące na prostych równoległych do krawędzi bocznych , to ich rzeczywiste wielkości zobaczymy jedynie w tym rzucie, gdzie uzyskaliśmy prawdziwy obraz tych krawędzi graniastosłupa . W przedstawionym zadaniu był to trzeci rzut , dlatego korzystamy z transformacji , ponownie odnosząc punkty 1 i 2 na podstawę bryły i rysując proste, z zachowaniem równoległości, tym razem w trzecim widoku. Po odniesieniu punktów P i Q na tak przygotowane proste, widzimy rzeczywiste długości , których szukamy. Na rysunku powyżej zostały oznaczone na czerwono.

Rzeczywistą odległość szukanych punktów od punktów na podstawie znajdziemy w rzucie , gdzie wyznaczony zostały prawdziwe długości krawędzi bocznych graniastosłupa , jako że pomocnicze proste są do nich równoległe .

Jeżeli znamy już wszystkie potrzebne długości , możemy przenieść je na siatkę . Przede wszystkim pilnujemy, aby punkty 1 i 2, leżące na podstawie, zostały odniesione na boki odpowiedniej z dwóch podstaw , jako że podstawy w graniastosłupie mogą być różne . Dalej proste , które w rzutach były równoległe do krawędzi bocznych bryły, tak samo muszą być narysowane równolegle na rozwinięciu . Ostatnim krokiem będzie odniesienie cyrklem rzeczywistych odległości punktów P i Q od punktów na podstawie (1 i 2), które wyznaczyliśmy w trzecim rzucie .

Dwie podstawy graniastosłupa mogą być różne , dlatego należy pilnować, na której z podstaw zaczepiamy pomocnicze proste.
Rys.5 Przeniesienie rzeczywistych wielkości na siatkę graniastosłupa
Rys.5 Przeniesienie rzeczywistych wielkości na siatkę graniastosłupa

W momencie, kiedy wszystkie elementy zostały znalezione, wystarczy wykończyć zadanie graficznie . Eksponujemy (grubą linią) bryłę w dwóch podstawowych rzutach oraz ścianki i podstawy rozrysowanej siatki graniastosłupa z naniesionymi punktami P i Q . Wszelkie pozostałe linie , jako mniej istotne i pomocnicze, zostawiamy narysowane cienką linią konstrukcyjną (jak na rysunku poniżej).

Rys.6 Wykończenie graficzne zadania
Rys.6 Wykończenie graficzne zadania

W drugim zadaniu, poświęconym ostrosłupowi , dodatkowo zostajemy poproszeni o wyznaczenie punktów przebicia prostej , podanej w zadaniu. Dopiero znalezione punkty przebicia są tymi, które należy nanieść na narysowane rozwinięcie bryły .

Rys.7 Zadanie 2
Rys.7 Zadanie 2

Podobnie jak poprzednio, zaczynamy od wyznaczenia rzeczywistych wielkości w ostrosłupie, dla krawędzi bocznych stosując konstrukcję obrotu . Analogicznie, jak w przypadku graniastosłupa, jeżeli ten moment jest mało zrozumiały, zachęcam do obejrzenia kursu z tego tematu.

Rys.8 Rzeczywiste wielkości i siatka ostrosłupa
Rys.8 Rzeczywiste wielkości i siatka ostrosłupa
Konstrukcja obrotu stosowana w ostrosłupie i sposób rysowania jego rozwinięcia został wytłumaczony w ramach kursu:  Rzeczywiste wielkości w rzutach Monge’a i rozwinięcia (siatki) wielościanów .

Po narysowaniu siatki, wyznaczamy punkt przebicia prostej danej w zadaniu z ostrosłupem . Za każdym razem do wyznaczania punktu przebicia posługujemy się pomocniczą płaszczyzną , przechodzącą przez wbijaną prostą i krojącą bryłę . Szukane punkty przebicia znajdują się na wyznaczonym, pomocniczym przekroju . Więcej o znajdowaniu punktów przebicia można się dowiedzieć z osobnego artykułu, w którym zostało przedstawione kilka przykładów.

Więcej o tym, jak wyznaczyć punkty przebicia bryły przez zadaną prostą w artykule:  Punkty przebicia wielościanu prostą – zadania w rzutach Monge’a .
Rys.9 Punkty przebicia ostrosłupa prostą
Rys.9 Punkty przebicia ostrosłupa prostą

W kolejnym kroku należy przenieść znalezione punkty przebicia na wcześniej przygotowane rozwinięcie bryły . W tym celu, podobnie jak w graniastosłupie, przeprowadzimy przez punkty przebicia pomocnicze proste , które będą należały do ścianek bryły i będą podobne do innych krawędzi występujących w ostrosłupie. Najlepszym rozwiązaniem będzie więc poprowadzenie prostych od wierzchołka , zaczepionych odpowiednio na podstawie (w punktach 1 i 2). Takie proste rysujemy we wszystkich rzutach, a punkty zaczepienia na podstawie (1,2) powinny wypaść w tym samym miejscu w każdym widoku, co najłatwiej możemy sprawdzić, prowadząc pionową odnoszącą między nimi.

Odnosząc na siatkę punkty leżące na ściankach ostrosłupa , najlepiej wprowadzić przez nie  pomocnicze proste wychodzące z wierzchołka i zaczepione na podstawie bryły.
Rys.10 Pomocnicze proste przez przenoszone punkty
Rys.10 Pomocnicze proste poprowadzone przez przenoszone punkty

Aby odwzorować wprowadzone proste na siatce, znajdujemy rzeczywiste wielkości , które będzie można wykorzystać. W widoku, w którym mamy prawdziwy obraz podstawy , znajdujemy dokładną odległość punktów zaczepienia (1 i 2) od punktów podstawy ostrosłupa, jednocześnie lokalizując na jakiej ściance znajdują się pomocnicze proste (odpowiednio w zadaniu pkt. 1 na ścianie ABW, pkt. 2 na DCW).

Skoro do wyznaczania rzeczywistych długości krawędzi bocznych ostrosłupa korzystamy z konstrukcji obrotu , to podobnie obracając, możemy znaleźć odległość punktów przebicia P i Q od wierzchołka . W przedstawionym zadaniu oś obrotu została przyjęta prostopadle do rzutni pionowej , a tym samym na drugim rzucie widziana jest w formie punktu . Dlatego też zaczynamy w drugim rzucie od obrotu pkt P i Q dookoła osi l, tak aby odcinki PW i QW przyjęły położenie równoległe do rzutni . Następnie punkty obrócone odnosimy na ich płaszczyzny obrotu do przeciwnego rzutu i po połączeniu z nieruchomym wierzchołkiem otrzymujemy rzeczywistą , szukaną długość (na poniższym rysunku oznaczoną na czerwono).

Do wyznaczenia odległości punktów przebicia od wierzchołka , korzystamy z konstrukcji obrotu , podobnie jak w przypadku krawędzi bocznych ostrosłupa .
Rys.11 Rzeczywiste wielkości dla pomocniczych prostych
Rys.11 Rzeczywiste wielkości dla pomocniczych prostych

Przeniesienie na siatkę zaczynamy od punktów leżących na podstawie (1 i 2) i ich połączenia z wierzchołkiem . Wówczas otrzymamy proste , które pomocniczo wprowadziliśmy w rzutach i na których odkładamy znalezioną, rzeczywistą odległość punktów przebicia od wierzchołka . Żeby dało się narysować proste leżące na ściankach bryły, pamiętajmy, aby punkty zaczepienia na podstawie (1,2) odnosić na krawędzie podstawy należące do rozwiniętych ścian ostrosłupa, a nie do samej figury podstawy.

Rys.12 Przeniesienie rzeczywistych wielkości na siatkę ostrosłupa
Rys.12 Przeniesienie rzeczywistych wielkości na siatkę ostrosłupa

Finałem zadania jest pogrubienie , z odpowiednią widocznością , krawędzi bryły , ale także prostej do punktów przebicia , wystającej poza ostrosłup oraz pobocznicy (ścianek bocznych) i podstawy na skonstruowanej siatce . W przykładzie pokazany jest też sposób oznaczania punktów szczególnych , wynikowych (tutaj P i Q), czyli pełen środek kółeczka oznaczającego punkt i dodatkowa większa obwódka.

Rys.13 Wykończenie graficzne zadania
Rys.13 Wykończenie graficzne zadania

Artykuł stanowi uzupełnienie kursu: Rzeczywiste wielkości w rzutach Monge’a i rozwinięcia (siatki) wielościanów , jako że możemy się spotkać z rozbudowanymi zadaniami łączącymi wszystkie te elementy: wyznaczanie prawdziwych długości , budowanie siatek , wprowadzanie przekrojów płaszczyznami lub przebić prostymi . Najlepszym tego przykładem będą dwa powyższe zadania, które mam nadzieję, okażą się pomocne.