Aby wyznaczyć punkt przebicia zadaną prostą , każdorazowo należy się posłużyć pomocniczą płaszczyzną . Najważniejszy warunek jest taki, że zakładana płaszczyzna musi przechodzić przez prostą , którą chcemy wbić. Inaczej mówiąc, prosta musi w całości leżeć na wprowadzonej płaszczyźnie. Następnie kroimy tą płaszczyzną wielościan , zaznaczając wszystkie punkty, w których przecina ona bryłę, i łącząc powstałą figurę przekroju . Skoro zarówno przekrój, jak i prosta leżą na tej samej, założonej przez nas płaszczyźnie, oznacza to, że się ze sobą przecinają . Punkty przecięcia prostej z przekrojem to równocześnie punkty, w których prosta wchodzi w bryłę i z niej wychodzi, czyli właśnie szukane punkty przebicia . Na koniec oznaczamy jeszcze widoczność przebijanej prostej, uwzględniając jedynie fragmenty wystające poza wielościan. Cały ten schemat postępowania przedstawiony jest na poniższym rysunku.
Zadanie 1
W momencie, kiedy rozumiemy zasadę postępowania, możemy zacząć rozwiązywać zadania. W pierwszym z przedstawionych przykładów ustawienie prostej w obu rzutach jest dowolne i nie ma tu szczególnych dodatkowych utrudnień.
Dla uzyskania najłatwiejszego przekroju zakładana płaszczyzna musi być w postaci rzutującej (widziana jako linia). Mamy natomiast do wyboru, przez który z rzutów zadanej prostej przeprowadzimy tę płaszczyznę. Jeżeli tylko jest taka możliwość, dobrze jest wybrać ten z widoków, w którym płaszczyzna kroiłaby jedynie krawędzie boczne bryły – przekrój będzie odrobinę bardziej schematyczny, a tym samym prostszy . Należy pamiętać o podpisaniu wprowadzanej płaszczyzny grecką literą alfabetu, a następnie nazwaniu znalezionych punktów pomocniczego przekroju . Przykładowo, krojąc krawędź boczną wychodzącą z punktu A, możemy opisać punkt przekroju A1, aby ułatwić odnoszenie na odpowiednie krawędzie do przeciwnego rzutu, tak jak zostało to nazwane na poniższym rysunku.
W kolejnym kroku, po odniesieniu i połączeniu figury przekroju , znajdujemy miejsca, w których przecina się on z wbijaną w zadaniu prostą . W ten sposób wyznaczone punkty przebicia (w zadaniu nazwane P i Q) pokazujemy w obu widokach . Na koniec określamy jeszcze widoczność prostej po przebiciu, pamiętając, że interesują nas jedynie fragmenty wystające z bryły. Aby ustalić, na jakiej ściance znajduje się punkt przebicia, patrzymy, w jaką linię przekroju wpadała prosta i na jakich krawędziach bryły zaczepia się ten fragment przekroju . Łatwiej jest, jeżeli nazywaliśmy przekrój analogicznie do punktów podstawy i przykładowo na ściance AB linia przekroju łączy punkty A1,B1 – wówczas mamy bezpośrednią informację dotyczącą położenia zawartą w samym przekroju. Zawsze można sobie z boku zapisać, do jakich ścianek należą punkty, jako że widać to dokładnie tylko w jednym z dwóch widoków , a w rzeczywistości ich położenie nie zmienia się niezależnie od rzutu, na który patrzymy. Przy określaniu widoczności pamiętajmy, że jeżeli którakolwiek z krawędzi wielościanu narysowana jest linią przerywaną , oznacza to, że nie widzimy żadnej ścianki współtworzonej przez tę krawędź i tym samym punktów na niej.
Zadanie 2
W zadaniu możemy również dostać prostą w postaci rzutującej , czyli ustawioną prostopadle do jednej z rzutni . Wtedy, tak jak w przykładzie poniżej, w jednym z rzutów widzimy ją w formie punktu , a w drugim jako pionową prostą.
Jest to przypadek, w którym zakładamy płaszczyznę w formie linii ( rzutującą ), koniecznie przez punktowo widzianą prostą . Mamy też wtedy pewną dowolność przy ustalaniu jej kierunku, jako że teoretycznie jest nieskończenie wiele możliwości. Dla nas istotne jest, aby płaszczyzna nie była pionowa , bo wówczas pokryje się z prostą i nie damy rady wyznaczyć ani odnieść punktów. Z tego samego powodu unikamy płaszczyzn , które przecinałyby jakąkolwiek krawędź ustawioną prostopadle do osi x12 , żeby nie utrudniać sobie przenoszenia punktów przekroju.
Przy dobrze założonej płaszczyźnie pomocniczej bez problemu odniesiemy i połączymy przekrój , a dalej wyznaczymy, w jakich miejscach przecina się on z daną prostą . Na koniec, podobnie jak w poprzednim zadaniu, określimy widoczność prostej do jej punków przebicia, ustalając najpierw, na jakich ściankach znajdują się otrzymane punkty. Należy też pamiętać, aby znalezione punkty przebicia opisać również w rzucie, w którym prosta widziana jest w formie punktu i tym samym elementy się na siebie nakładają .
Zadanie 3
Oczywiście nie zawsze jest możliwość kroić jedynie przez krawędzie boczne bryły i niezależnie od rzutu, który wybierzemy na początek, płaszczyzna przetnie również podstawę . Tego typu sytuację obrazuje zadanie 3, przedstawione poniżej.
Widać, że bez względu na to, czy wybierzemy widok boczny , czy widok z góry , płaszczyzna przeprowadzona przez jeden z rzutów prostej przetnie podstawę danego ostrosłupa . Im mniej schematyczny przekrój, tym więcej uwagi należy mu poświęcić. Szczególnie warto sprawdzić, czy krawędzie nie nakładają się na siebie , aby nie pominąć żadnego punktu wyznaczanego przekroju. W momencie, kiedy kroimy zarówno krawędzie boczne, jak i podstawę wielościanu, niekoniecznie sprawdzi się wcześniej stosowane nazewnictwo (pkt. A1, B1 itd.) i możemy zdecydować się na zwykłą numerację . Warto też wtedy zachować większą ostrożność przy odnoszeniu punktów do przeciwnego rzutu.
Jeżeli tylko zaczynamy się zastanawiać podczas łączenia figury przekroju , pamiętajmy, że musi to być wielokąt wypukły , przechodzący przez wszystkie znalezione punkty , a jego krawędzie nie mogą się ze sobą przecinać. Od razu po wyznaczeniu punktów przebicia warto określić ścianki, na których się one znajdują, sprawdzając, na których krawędziach bryły zaczepia się dana linia przekroju. Przykładowo, w zadaniu poniżej, punkt przebicia P znajduje się na linii przekroju łączącej punkty 2 i 3, odpowiednio leżące na krawędziach BW i CW, co oznacza, że punkt P leży na ściance BCW.
Zadanie 4
Ostatnie z przedstawionych zadań będzie nieco trudniejsze, jako że w obydwu rzutach dana
prosta przecina pionowo usytuowaną podstawę ostrosłupa
, a jak wiemy, nie da się odnieść pionowymi odnoszącymi punktów leżących na pionowych krawędziach.
Warto też zwrócić uwagę na
różne sformułowania
w treści poleceń. Mogą nas poprosić o wyznaczenie
punktów przebicia
graniastosłupa
lub
ostrosłupa
konkretną prostą, ale o to samo będzie chodziło, jeżeli poproszą nas o wyznaczenie
elementów wspólnych prostej
i
wielościanu.
Prosta z bryłą będzie miała wspólne właśnie punkty przebicia.
Zadanie zaczynamy od poradzenia sobie z pionową podstawą . Niezależnie od tematu, jeżeli spotkamy się z koniecznością odniesienia punktów z pionu na pion między dwoma rzutami, potrzebny nam będzie trzeci widok , zrobiony w formie kładu bocznego lub transformacji . Wiemy, że przy wykonywaniu transformacji zawsze bierzemy odległości nie z sąsiedniego rzutu, a z jeszcze jednego wcześniejszego. Tym samym, jeśli dostawimy trzecią rzutnię do rzutu, w którym mamy znalezione punkty przekroju, trzeci rzut pokaże odległości potrzebne w widoku, do którego chcemy te punkty odnieść. W takim razie, w poniższym zadaniu, najpierw robimy trzeci rzut pionowej podstawy , na którą następnie odniesiemy punkty przekroju (3,4). Dzięki temu zobaczymy ich odległość od osi x13, którą będzie można powtórzyć w drugim rzucie , odkładając ją powyżej osi x12.
Po narysowaniu przekroju w drugim rzucie i znalezieniu punktów przebicia dla prostej kolejna trudność pojawi się w momencie ustalania, na których ścianach położone są punkty. Jeżeli tylko podstawa bryły widziana jest w formie linii , oznacza to, że ścianki się na siebie nakładają i w takim widoku nie mamy możliwości ustalenia, do której z nich należy punkt. Wsparciem dla nas będzie trzeci rzut tej podstawy, bo dopiero na nim widzimy każdą krawędź oddzielnie i tym samym umiemy zlokalizować punkty na nich. Zakończeniem i rozwiązaniem, tak jak w poprzednich zadaniach, będzie pokazanie widoczności przebijanej prostej.
W artykule omówione zostały przekroje wielościanów jako element pomocniczy do znalezienia punktów przebicia dla zadanej prostej . Nie zawsze jednak przekrój jest tak łatwy do wyznaczenia, zwłaszcza jeżeli płaszczyzna tnąca nie ma jeszcze postaci rzutującej , a jest ustawiona dowolnie do rzutni (w formie należących do niej punktów lub prostych). Często też w zadaniach na rozwiązanie przekroju proszą nas o jego sprawdzenie za pomocą kolineacji i powinowactwa .
4.8