Jak rozwiązać belkę Metodą Przemieszczeń?

Ustalenie stopnia geometrycznej (kinematycznej) niewyznaczalności.

Tematem zadania jest sporządzenie wykresów sił wewnętrznych i momentów gnących w belce geometrycznie niewyznaczalnej za pomocą metody przemieszczeń .

Pierwszym krokiem zadania jest ustalenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności (SGN) belki. Na niektórych uczelniach, zamiast stopnia geometrycznej niewyznaczalności używa się pojęcia stopień kinematycznej niewyznaczalność (SKN). Nie ma żadnego znaczenia, którym z ww. pojęć będziemy się posługiwać, ponieważ ich znaczenie jest identyczne.

Możemy używać alternatywnie pojęcia stopień geometrycznej niewyznaczalności (SGN) i stopień kinematycznej niewyznaczalności (SKN).

Belka jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalna metoda przemieszczeń — Rys. 1 Belka jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalna

Stopień geometrycznej lub kinematycznej wyznaczamy w pierwszym kroku zadania. Zaczynamy od oznaczenia węzłów wewnętrznych w belce. Węzłów skrajnych, w tym przypadku początku i końca belki nie bierzemy pod uwagę.

Przyjęcie układu podstawowego metody przemieszczeń.

Wyodrębniłem w belce jeden węzeł wewnętrzny i oznaczyłem go nr 1. Zgodnie z zasadami postępowania w metodzie przemieszczeń muszę założyć na ten węzeł takie więzy, które spowodują brak możliwości przenoszenia się momentu gnącego pomiędzy sąsiednimi elementami podstawowymi metody przemieszczeń .

W metodzie przemieszczeń pomijamy odkształcenia liniowe prętów.

Mając na uwadze powyższą zasadę, sprawdzam możliwości ruchu węzła nr 1 na płaszczyźnie. Węzeł 1 nie ma możliwości ruchu pionowego ani poziomego. Posiada natomiast możliwość obrotu. Dokładam zatem w węźle nr 1 blokadę ruchu obrotowego .

przyjęcie układu podstawowego metody przemieszczeń — Rys. 2 Układ podstawowy metody przemieszczeń

W ten sposób powstał układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP). Ten układ będzie nam służył do wszystkich obliczeń, jakie będziemy wykonywać w trakcie procedury metody przemieszczeń.

Sporządzenie wykresu momentu od wymuszenia obrotu.

Aby wykonać wykres momentów gnących od wymuszenia obrotu w węźle 1, sporządzamy szkic odkształcenia belki po obrocie węzła nr 1. Myślowo zwalniamy blokadę obrotu w węźle 1 i wymuszamy obrót węzła w dowolnym kierunku. Ja w tym przypadku wymusiłem obrót węzła w prawo. Po wymuszeniu obrotu ponownie myślowo zakładamy na węzeł blokadę obrotu .

wymuszenie obrotu w węźle belki geometrycznie niewyznaczalnej — Rys. 3 Wymuszenie obrotu w węźle

Po w ymuszeniu obrotu rysujemy, jak odkształcą się oba elementy podstawowe metody przemieszczeń w naszej belce. Belka po lewej stronie węzła 1 oparta jest o podporę wspornikową, więc odkształcenie po lewej stronie dojdzie do stycznej. Po prawej stronie mamy belkę opartą na podporze przegubowej a co za tym idzie, koniec belki wykona swobodny obrót.

Te sytuacje doskonale ilustruje poniższy rysunek.

odkształcenie prętów w belce w metodzie przemieszczeń — Rys. 4 Odkształcenie belki po wymuszeniu obrotu węzła

Właściwe sporządzenie szkicu odkształceń belki po zadanym wymuszeniu bardzo ułatwia korzystanie z wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń a co za tym idzie sporządzanie wykresów momentów gnących.

Następnie korzystając ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń , sporządzamy wykresy momentów gnących dla wymuszenia obrotu w 1 węźle.

wykres momentu gnącego od wymuszenia obrotu w węźle — Rys. 5 Wykres momentu gnącego na podstawie wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń

Dzięki sporządzonym wcześniej wykresom odkształceń belki doskonale widoczne jest, która strona belki jest rozciągana, a która ściskana. Dzięki tej wiedzy bez problemu wybieramy właściwy wzór transformacyjny metody przemieszczeń i rysujemy wykres momentów gnących po właściwej stronie.

Wykresy momentów gnących sporządzamy zawsze po rozciąganej stronie materiału belki lub ramy.

Obliczanie współczynnika równania kanonicznego metody przemieszczeń.

Kolejnym etapem zadania jest wyznaczenie współczynnika r ównania kanonicznego metody przemieszczeń . W tym celu wycinamy węzeł nr 1 oraz nanosimy w poszczególnych przekrojach momenty węzłowe z odpowiednimi zwrotami.

Wartości i zwroty momentów węzłowych odczytujemy z wykresu momentu gnącego od stanu Mfi1.

obliczanie współczynnika równania kanonicznego metody przemieszczeń — Rys. 6 Obliczanie współczynników równania kanonicznego metody przemieszczeń

Następnie w węźle nr 1 zaznaczamy reakcję R11 (reakcja w pierwszym węźle od wymuszenia obrotu w pierwszym węźle).

Zwrot reakcji przyjmujemy zgodny ze zwrotem wymuszenia obrotu w węźle.

Następnie obliczamy równowagę sił wewnętrznych i zewnętrznych stosując równanie sumy momentów w węźle pierwszym. Równanie przyrównujemy do zera i wyznaczamy współczynnik równania kanonicznego metody przemieszczeń.

Sporządzamy wykres momentu gnącego od obciążeń rzeczywistych.

Podobnie jak w przypadku wymuszenia obrotu w węźle 1, tym razem również korzystam ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń . Dzielę belkę na elementy podstawowe metody przemieszczeń . Otrzymuje belkę obustronnie zamocowaną wspornikowo, obciążoną obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym oraz belkę zamocowaną z jednej strony wspornikowo a z drugiej przegubowo, obciążoną siłą skupioną 10 kN.

wykres momentu gnącego od obciążeń rzeczywistych metoda przemieszczeń — Rys. 7 Wykres momentów gnących od obciążeń rzeczywistych.

W tablicach ze wzorami transformacyjnymi metody przemieszczeń odnajduje moje przypadki elementów podstawowych i sporządzam wykres momentów gnących dla stanu od obciążeń rzeczywistych.

Obliczam wyraz wolny równania kanonicznego metody przemieszczeń

Następnie wycinam węzeł pierwszy, ale tym razem nanoszę wartości momentów brzegowych z wykresu momentu gnącego pochodzącego od obciążeń rzeczywistych na belce.

Rys. 8 Obliczanie wyrazu wolnego równania kanonicznego metody przemieszczeń

Obliczam równowagę węzła aby ustalić wartość reakcji a co za tym idzie współczynnika układu równań kanonicznych.

Kiedy mamy wyznaczone wszystkie wyrazy układu równań kanonicznych obliczamy wartość reakcji fi1.

obliczanie układu równań kanonicznych metody przemieszczeń — Rys. 9 Rozwiązanie układu równań kanonicznych metody przemieszczeń.

Sporządzenie wykresu momentu gnącego ostatecznego - metoda superpozycji.

Zaczynamy od przemnożenia wykresów momentów gnących od stanów wymuszeń jednostkowych (w naszym przypadku wymuszenie obrotu w węźle nr 1) przez obliczoną reakcję fi1.

metoda superpozycji w metodzie przemieszczeń — Rys. 10 Obliczanie wykresu momentu ostatecznego metodą superpozycji.

Aby sporządzić pełen wykres momentu gnącego ostatecznego musimy posiłkować się wykresem sił tnących. Wycinamy poszczególne elementy belki i równoważąc siły zewnętrzne i wewnętrzne obliczamy brzegowe wartości sił tnących.

Obliczanie wykresu sił tnących na podstawie wykresów momentów gnących — Rys. 11 Obliczanie wykresów sił tnących ostatecznych na podstawie wykresu momentów gnących ostatecznych

Mając gotowe wykresy sił tnących ostatecznyc h możemy sprawdzić wartości ekstremalne na wykresie momentów gnących a co za tym idzie sporządzić finalne wykresy momentów gnących ostatecznych.