Punkty przebicia na stożku – zadania w rzutach Monge’a

W przypadku stożków musimy pamiętać, że nie każda założona płaszczyzna da przekrój łatwy do narysowania , a co za tym idzie, przydatny przy wyznaczaniu punktów przebicia . Krojąc stożek, w zależności od ustawienia płaszczyzny tnącej, możemy uzyskać pięć różnych kształtów przekrojów – koło, trójkąt, elipsę, parabolę i hiperbolę. (To, jak uzyskać konkretny kształt przekroju, jest dokładnie wytłumaczone w ramach kursu Przekroje stożków w rzutach Monge’a ).

Po wprowadzeniu płaszczyzny pomocniczej i wykonaniu przekroju bryły wystarczy zobaczyć, gdzie prosta leżąca w tej płaszczyźnie przecina przekrój , jednocześnie przebijając bryłę. Żeby jednak przekrój był użyteczny, potrzebny jest kształt przekroju, który umożliwia dokładne wyznaczenie punktów przecięcia, co na stożku uda się jedynie w przypadku okręgu lub trójkąta . Nie korzystamy więc z żadnej z trzech krzywych stożkowych (elipsy, paraboli, hiperboli), których samo narysowanie jest dużo trudniejsze, a punkty przecięcia z nimi są jedynie przybliżone.

Kiedy zatem uzyskamy potrzebny w zadaniu przekrój? Jeżeli mamy możliwość poprowadzić płaszczyznę na stożku równolegle do jego podstawy kołowej , zawsze uzyskamy przekrój kołowy . Natomiast prowadząc płaszczyznę przez wierzchołek , czyli jedyne miejsce, gdzie może się przekrój stożka załamać, otrzymamy trójkąt .

Zadanie 1

W momencie, kiedy proszą w zadaniu o wyznaczenie punktów przebicia stożka przez prostą, najłatwiej jest, jeżeli możemy skorzystać z płaszczyzny w postaci rzutującej .

Żeby można było założyć przez prostą płaszczyznę rzutującą i jednocześnie uzyskać kołowy przekrój stożka , potrzebna jest sytuacja, w której prosta w jednym z rzutów jest równoległa do podstawy stożka, a sama podstawa również jest widziana w tym rzucie w formie linii. Taką właśnie sytuację obrazuje poniżej zadanie 1.

Sposób, w jaki będziemy rozwiązywać powyższe zadanie, obrazuje poniższy schemat. W pierwszym kroku należy założyć płaszczyznę przechodzącą przez zadaną prostą , a następnie, w wyniku cięcia stożka tą płaszczyzną, otrzymamy kołowy przekrój . Zarówno kołowy przekrój, jak i prosta dana w zadaniu znajdują się na tej samej płaszczyźnie, a to oznacza, że w miejscu ich przecięcia otrzymujemy punkty wspólne . Skoro przekrój ogranicza tę płaszczyznę wewnątrz stożka, to w miejscach przecięcia prostej z przekrojem mamy również szukane punkty, w których prosta przebija sam stożek. W ostatnim kroku pokazujemy widoczność wystających poza stożek części prostej.

W rzutach na samym początku opisujemy wprowadzaną płaszczyznę (jak zawsze za pomocą greckiej litery ). Płaszczyznę zakładamy dokładnie na rzucie prostej ustawionej równolegle do podstawy stożka w widoku z boku, co gwarantuje nam, że kształtem przekroju będzie koło . Widząc, gdzie płaszczyzna przecina stożek, i wiedząc, że jest to przekrój kołowy, otrzymujemy promień , którym rysujemy okrąg w przeciwnym rzucie.

Po narysowaniu okręgu oznaczamy jego punkty przecięcia z prostą i, jako punkty wynikowe zadania, odnosimy na tą samą prostą do przeciwnego widoku.

Na koniec ustalamy widoczność , pamiętając, że w celu sprawdzenia widoczności zawsze należy spojrzeć na sąsiedni rzut tak, jakbyśmy chcieli go „popchnąć” na oś x12. Oznacza to, że patrząc z góry na widok boczny, widzimy, co znajduje się wysoko, czyli co będziemy rysować jako widoczne w widoku z góry (pierwszym). Odwrotnie, jeżeli spojrzymy od przodu na widok z góry, zobaczymy, co jest bliżej i co rysujemy jako widoczne na widoku bocznym (drugim).

Zadanie 2

Kolejne zadanie obrazuje sytuację, w której prosta przebijająca stożek w jednym z rzutów jest rzutująca , czyli widziana w formie punktu . W takiej sytuacji sąsiedni widok prostej będzie zawsze prostopadły do osi x12.

Teoretycznie takie ustawienie prostej w formie punktu daje wiele możliwości poprowadzenia przez nią płaszczyzny rzutującej. Niestety, aby przekrój stożka był łatwy i pomocny, wiemy, że musi mieć formę koła lub trójkąta, co ogranicza nam pole manewru. Jeżeli prosta w formie punktu nie jest w tym samym rzucie co podstawa stożka w formie linii, to nie mamy możliwości wprowadzenia kołowego przekroju, podobnie jak to było pokazane w poprzednim zadaniu. Zatem niezależnie od rzutu, w którym widzimy prostą jako punkt , uniwersalne będzie poprowadzenie przez nią płaszczyzny przechodzącej przez wierzchołek stożka i tym samym gwarantującej nam trójkątny przekrój . Zadanie będzie rozwiązywane wówczas analogicznie; zmianie ulegnie jedynie kształt przekroju.

W rzutach zaczynamy od wprowadzenia płaszczyzny przez punktowo widzianą prostą i jednocześnie wierzchołek stożka, a następnie znajdujemy dwa punkty , w których płaszczyzna przecina podstawę stożka (pkt. 1 i 2 na rysunku poniżej). Po odniesieniu ich na podstawę do przeciwnego rzutu i połączeniu z wierzchołkiem otrzymamy pomocniczy trójkątny przekrój , z którym przecina się prosta dana w zadaniu, dając szukane punkty przebicia (A i B). Punkty znajdują się na prostej, więc oczywiście opisujemy je również w tym samym miejscu, gdzie prosta ma postać rzutującą (p”=A”=B”).

W celu ustalenia widoczności punktów przebicia najlepiej jest spojrzeć na pomocniczy trójkątny przekrój i jego punkty na podstawie stożka. Punkt zaczepienia 1, znajdujący się na widocznej połowie podstawy, gwarantuje widoczność punktu przebicia A, leżącego na odcinku 1,W. Analogicznie, jeżeli nie widzimy punktu 2, tym samym nie zobaczymy punktu przebicia B, należącego do odcinka 2,W.

Zadanie 3

Większy problem w zadaniu pojawia się, kiedy prosta w obu rzutach jest widziana w formie linii , a jednocześnie w żadnym z rzutów nie przechodzi przez wierzchołek ani równolegle do podstawy stożka. W takiej sytuacji musimy zrezygnować z zakładania przez prostą płaszczyzny rzutującej, bo przekroje, które byśmy otrzymali, miałyby formę krzywych stożkowych – elipsy , paraboli lub hiperboli . Podobną sytuację mamy w zadaniu trzecim, przedstawionym poniżej.

Płaszczyzny w zadaniach oczywiście niekoniecznie muszą być w postaci rzutującej. Mogą być one ustawione dowolnie do rzutni i wówczas opisujemy je za pomocą podstawowych elementów przestrzeni należących do takiej płaszczyzny, czyli punktów lub prostych. Aby elementy opisywały tylko jedną możliwą płaszczyznę, muszą być to co najmniej trzy punkty lub dwie proste należące do tej płaszczyzny. W przypadku prostych dodatkowym warunkiem jest to, że są one ustawione do siebie równolegle albo przecinają się w jednym punkcie .

Tak też w tym przypadku wprowadzimy w zadaniu płaszczyznę, która nie będzie widziana w formie linii, a będzie opisana przez nas za pomocą dwóch przecinających się prostych. Jeżeli celem zadania jest znalezienie punktów przebicia dla prostej p, a płaszczyzna, którą zakładamy, ma koniecznie przez tę prostą przechodzić, to będzie ona już jedną z prostych potrzebnych do zdefiniowania naszej płaszczyzny. Brakująca prosta musi przecinać się z prostą p, aby powstała płaszczyzna, i musi być tak założona, aby utworzona płaszczyzna dawała prosty przekrój stożka. Jeżeli poprowadzimy zatem prostą przez wierzchołek , będzie to oznaczało, że cała powstała płaszczyzna też kroi stożek w wierzchołku, dając tym samym trójkątny przekrój.

Ważnym elementem takiego zadania będzie ustalenie, na jakiej płaszczyźnie stoi zadany stożek , i znalezienie krawędzi między wprowadzoną nową płaszczyzną i płaszczyzną podstawy stożka.

Jeżeli w widoku bocznym podstawa pokrywa się z osią x12, oznacza to, że leży ona na rzutni poziomej , czyli Π1. Znajdujemy w takim razie punkty , w których proste p i q, tworzące pomocniczą płaszczyznę, wbijają się w rzutnię pierwszą, co widzimy w widoku bocznym, a następnie odnosimy znalezione punkty na widok z góry (pkt. 1 i 2). Przez te dwa punkty przebicia dwóch prostych należących do płaszczyzny przejdzie jej krawędź k z rzutnią poziomą Π1.

Po znalezieniu krawędzi k pomiędzy wprowadzoną płaszczyzną tnącą a płaszczyzną, na której stoi stożek, możemy określić dwa punkty , w których przecięta została kołowa podstawa stożka. Następnie, pamiętając, że zakładaliśmy płaszczyznę przez wierzchołek stożka, możemy połączyć trójkątny przekrój .

Mając gotowy przekrój płaszczyzną poprowadzoną przez prostą p, możemy już bez problemu, podobnie jak w poprzednich zadaniach, wyznaczyć dla tej prostej punkty przebicia A i B. Na koniec odnosimy je do przeciwnego rzutu oraz ustalamy widoczność prostej , uwzględniając jedynie fragmenty prostej wystające poza stożek.