Udostępnij:

Mechanika

Kinematyka punktu I

W tym wpisie dowiecie się co to jest kinematyka i jakie możemy wyróżnić parametry kinematyczne.

Co to jest kinematyka?

Pewnie wielu z Was podczas swojej edukacji spotkało się z pojęciem kinematyki . Czy to jeszcze w szkole, czy już na studiach? Na pewno mówiliście o niej na fizyce, jednak czy potrafilibyście odpowiedzieć na pytanie czym jest kinematyka?

Kinematyka to dział mechaniki zajmujący się badaniem ruchu ciał niezależnie od przyczyn, które go wywołują.

Co się kryje za tą definicją? Ogólnie rzecz biorąc, mówiąc o kinematyce jakiegoś ciała, opisujemy tylko jego ruch, nie wnikamy co go spowodowało albo jakie są jego następstwa. Mówiąc najprościej, opisując kinematykę samochodu podamy jego prędkość, drogę jaką pokonał czy przyspieszenie z jakim się poruszał, bez wnikania jaką moc miał silnik tego samochodu czy jakie siły oporu działały na niego podczas ruchu.

Sposoby na opisanie ruchu punktu (cząstki).

W celu opisanie ruchu punktu konieczne jest wprowadzenie układu współrzędnych . Jest to twór czysto matematyczny, nie występujący w przyrodzie, ale konieczny do opisu ruchu. Najczęściej spotykanym układem jest układ kartezjański (prostokątny).

Wykorzystując algebrę wektorową możemy opisać kinematykę cząstki z użyciem tzw. wektora promienia wodzącego .

Zapis wektorowy
Rys.1 Zapis wektorowy

Kolejną metodą są tzw. równania skończone , w której to współrzędne badanego punktu są opisane przy pomocy ciągłych funkcji zależnych od czasu.

Równania skończone
Rys.2 Równania skończone

Inną dosyć istotną metodą jest tzw. opis naturalny , w którym to wraz z poruszającym się punktem jest ściśle związany układ współrzędnych zwany układem naturalnym (ma on trzy prostopadłe do siebie osie: styczną, normalną i binormalną, płaszczy tego układu tworzą tzw. trójścian Fréneta ).

Rys. 3 Opis naturalny

Czasem łatwiej jest opisać ruch punktu wykorzystując również współrzędne kątowe. W takiej sytuacji można skorzystać z trzech następujących układów współrzędnych:

  • układ biegunowy (polarny),
  • układ walcowy (cylindryczny),
  • układ sferyczny.
Rys. 4 Pozostałe układy współrzędnych

Każda z tych metod ma swoje wady i zalety. Z której najlepiej skorzystać w danym zadaniu? To już zależy od Was!

Kinematyczne parametry ruchu

Żaby opisać w pełni kinematykę punktu potrzebne jest określenie jej parametrów ruchu.  Przyjrzyjmy się im pokrótce.

Przemieszczenie/droga

Chcąc opisać ruch potrzebujemy informacji na temat drogi jaką pokonuje badany punkt. Najwięcej informacji niesie za sobą zależność opisująca jak zmieniało się położenie naszej cząstki w czasie, najwygodniej jest badać zmianę położenia punktu dla każdej osi układu współrzędnych osobno. Znając czas, po którym zakończył się ruch, możemy obliczyć położenie końcowe, zaś znając warunki początkowe możemy określić położenie początkowe punktu - różnica tych wartości określa wartość drogi przebytej podczas ruchu.

Tor ruchu
Tor ruchu (hodograf wektora promienia wodzącego) jest to zbiór punktów geometrycznych tworzących krzywą, po której przemieszcza się badany punkt, wraz z upływem czasu.
Rys. 5 Przykładowy tor ruchu

W celu określenia zależności matematycznej opisującej tor ruchu, musimy uzależnić od siebie przemieszczenia, opisujące ruch na poszczególnych osiach, tak aby zniknął z równań parametr czasu (mówimy wtedy, że wyrugowaliśmy czas z równań).

Prędkość
Rys. 6 Prędkość

Wielkość znana chyba każdemu, ma ona cechy wektora i opisuje zmianę położenia w czasie. Z matematycznego punktu widzenia, jeśli mówimy o zmianie, jakiejś wielkości względem innej, najwygodniej użyć, do opisu tego procesu, pochodnej. 

Stąd prędkość możemy określić jako pierwszą pochodną przemieszczenia po czasie (to tzw. prędkość chwilowa).

W celu określenia prędkości średniej dzielimy całkowitą drogę pokonaną przez punkt przez całkowity czas potrzebny do pokonania tej drogi.

Prędkość jest zawsze styczna do toru ruchu
Przyspieszenie
Rys. 7 Przyspieszenie

Jak sama nazwa wskazuje, informuje nas jak punkt przyspiesza, czyli zwiększa swoją prędkość (gdy punkt zmniejsza swoją prędkość mówimy o opóźnieniu lub ujemnym przyspieszeniu). Wyraża się jako pierwsza pochodna z prędkości po czasie lub druga pochodna z przemieszczenia po czasie (tzw. przyspieszenie chwilowe ). W celu określenia przyspieszenia średniego dzielimy średnią prędkość przez całkowity czas. Ponieważ prędkość jest wielkością wektorową, może się w niej zmieniać wartość albo kierunek, zmianę wartości prędkości w czasie określa się mianem przyspieszenia stycznego , zaś zmianę kierunku w czasie określa przyspieszenie normalne.  

Rys. 8 Składowe przyspieszenie w układzie naturalnym
Przyspieszenie całkowite jest zawsze styczne do hodografu prędkości
Hodograf prędkości jest to wielkość analogiczna do toru ruchu, ale określana nie dla wektora promienia, ale dla wektora prędkości. To krzywa, którą zakreślają końce wektora prędkości w kolejnych chwilach ruchu.

Funkcję określająca hodograf prędkości wyznacza się rugując czas z równań opisujących składowe wektora prędkości i uzależniając te składowe od siebie (analogicznie jak w przypadku toru ruchu).

Dla ciekawskich

Możemy wyróżnić jeszcze dalsze pochodne przemieszczenia w czasie, są to:

  • zryw (ang. jerk) - miara zmiany przyspieszenia w czasie (trzecia pochodna przemieszczenia po czasie),
  • udar (ang. snap) - zmiana zrywu w czasie (czwarta pochodna przemieszczenia po czasie),
  • ang. crackle (brak polskiej nazwy) - piąta pochodna przemieszczenia po czasie,
  • ang. pop (brak polskiej nazwy) - szósta pochodna przemieszczenia po czasie.

Wielkości te jednak bardzo, ale to bardzo rzadko są używane i brane pod uwagę w obliczeniach.

Szczególne przypadki ruchu

W szkole średniej mieliśmy do czynienia ze szczególnymi przypadkami ruchu, które to podsumowuje poniższy rysunek.

Rys.9 Szczególne przypadki ruchu

Podsumowanie

W ten sposób przeszliśmy przez najważniejsze pojęcia wiązane z kinematyką punktu. Na koniec polecam kilka pozycji literaturowych dla tych co chcą wiedzieć więcej o kinematyce:

  1. Engel Z., Giergiel J.: Mechanika –część II – Kinematyka, Wyd. AGH, Kraków 1998.
  2. J. Nizioł, Metodyka rozwiązywania zadań z mechaniki, WNT, 2002. Łódź, lipiec 2008.
  3. J. Leyko, Mechanika ogólna. Statyka i kinematyka, PWN, 2002.
  4. W. Kurnik: Wykłady z mechaniki ogólnej, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2017.
  5. Hendzel Z., Żylski W.: Mechanika ogólna — Kinematyka. OWPRz, Rzeszów 2001.
Więcej informacji i przykładowe zadania możecie zobaczyć w darmowym kursie pod tytułem: " Kinematyka punktu - I ",