Co to jest logarytm?
Na początek oczywiście odpowiemy sobie na podstawowe pytanie: co to jest logarytm? Spójrzmy do formalnej regułki, którą znajdziesz w tablicach maturalnych w rozdziale trzecim:
Wszystko jasne? Też tak myślę, bo to proste. Gdyby jednak ktoś jeszcze potrzebował wyjaśnień, spieszę z pomocą. Tak więc wprowadźmy sobie kilka pojęć na początek:
Zatem po kolei - ta najmniejsza literka "a" to jest tzw. podstawa logarytmu . Liczba "c" to jest liczba logarytmowana , natomiast liczba "b" to jest właśnie logarytm . Tyle jeśli chodzi o nazwy. Liczby te muszą, zgodnie z tym co jest napisane w tablicach, spełniać określone warunki tzn. liczba "a" musi być dodatnia i nie może być równa 1 , natomiast liczba "c" musi być dodatnia . Odnośnie znaczka " \(\Leftrightarrow\) " - ten symbol czytamy "wtedy i tylko wtedy, gdy". Zatem to co jest napisane na rysunku 2. na czarno przeczytamy: "Logarytm przy podstawie "a" z liczby "c" jest równy "b" wtedy i tylko wtedy, gdy "a" do potęgi "b" jest równe "c"". Przyjrzyjmy się teraz przykładom liczbowym aby zrozumieć co to jest logarytm.
Zatem przyjrzyjmy się powyższemu rysunkowi - w pierwszym przykładzie mamy napisane, że logarytm przy podstawie 2 z 8 jest równy 3, ponieważ 2 do potęgi 3 jest równy 8. Zatem obliczając logarytm musimy sobie zadać pytanie: do jakiej potęgi podnieść podstawę logarytmu aby otrzymać liczbę logarytmowaną? Można to też zobrazować w inny sposób:
Na drugim i trzecim przykładem pokazałem jak można liczyć proste logarytmy - oznaczamy nasz logarytm jako "x" i tworzymy za pomocą metody "kółeczka" zaprezentowanej na rysunku 4. tak zwane równanie wykładnicze - czyli takie równanie w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku. Widzimy zatem, że tworząc takie równanie łatwo jest w tych przykładach odpowiedzieć na pytania postawione pod rysunkiem pytania - gdyż 2 do potęgi 4 jest równe 16, natomiast 3 do potęgi drugiej jest równe 9. Odpowiadając więc na pytanie postawione na początku artykułu:
Na rysunku 4. zatem logarytmem są po prostu liczby oznaczone jako "x" i tyle.
Jak obliczać logarytmy?
No dobra, to wiemy co to jest logarytm i wiemy jak działać w takich prostych przykładach. A co w sytuacji, gdy ktoś nam zapoda w twarz czymś takim?
Opcje są dwie: Pierwsza - wstajemy z ławki, robimy dramę nauczycielowi próbując mu wmówić, że jest nieczuły i nas nie rozumie, rozpłakujemy się i mamy nadzieję, że zwolnią nauczyciela. Jeżeli jednak z jakichś powodów ktoś woli się po prostu nauczyć czegoś (bo matura i takie tam) i ma chęć poszerzania wiedzy (lub też po prostu nie zwolnili nauczyciela) to polecam opcję drugą - czyli tak jak w poprzednich przykładach - oznaczamy sobie nasz logarytm jako "x" i tworzymy równanie wykładnicze za pomocą metody "kółeczka":
Mamy zatem utworzone równanie wykładnicze. Co dalej? Dla niektórych odpowiedź tak od razu na pytanie ile wynosi "x" nie jest taka prosta i oczywista. Jeżeli jest, to spoko, jesteś super. Jeżeli nie jest, to też jesteś super i przy okazji pokażę Ci co dalej robić, abyś był jeszcze bardziej super. Tak więc przechodząc do rzeczy: należy obie strony równania doprowadzić do tej samej podstawy. Co to znaczy do tej samej podstawy? Szybkie przypomnienie poprawnej nomenklatury odnośnie potęg:
Przykładowo: gdy mamy do czynienia z wyrażeniem \(3^2\) , to takie wyrażenie nazwiemy potęgą . Liczbę "3" nazwiemy podstawą potęgi , natomiast liczba "2" nazwiemy wykładnikiem potęgi.
Wracając do naszego logarytmu - musimy doprowadzić obie strony równania wykładniczego do tej samej podstawy. Jak to zrobić? A no tutaj trzeba mieć trochę obeznania z działaniami na potęgach , więc jeżeli czujesz, że na ten moment nie ogarniasz w ogóle praw działań na potęgach to polecam wpierw nadrobić ten temat, a dopiero potem wrócić do logarytmów. W przyszłości na pewno nagram kurs i napiszę artykuł odnośnie działań na potęgach i pierwiastkach. ale spokojnie - wszystkie przejścia w tym przykładzie wytłumaczę krok po kroku.
Tak więc przechodząc do naszego przykładu - zauważamy, że liczbę \(81\) możemy przedstawić jako potęgę \(3^4\) , natomiast liczbę \(16\) możemy przedstawić jako potęgę \(2^4\) . Zgodnie z jednym z praw działań na potęgach - gdy licznik i mianownik ułamka są podniesione do tej samej potęgi - możemy cały ułamek zapisać w nawiasie i podnieść do tego wykładnika , czyli u nas:
Ktoś może zadać słuszne pytanie: "A jak mam zauważyć, że liczbę \(81\) mam zapisać jako \(3^4\) , a nie na przykład \(9^2\) , z kolei \(16\) jako \(2^4\) , a nie na przykład \(4^2\) ?" - Otóż po pierwsze, po lewej stronie równania widzimy wyrażenie \((\frac{2}{3})^x\) , zatem widzimy liczby \(2 \) i \(3\) - to już jest pierwsza podpowiedź . Natomiast po drugie - to jest kwestia przeliczenia kilkunastu / kilkudziesięciu tego typu przykładów i wtedy "to się widzi" od razu. Polecam na początku nauki "zauważania" takich potęg korzystać z takiej tabelki:
Gdy nauczymy się tej tabelki, "zauważanie" faktu, że daną liczbę można zapisać jako potęgę innej liczby będzie znacznie prostsze. Powróćmy do przykładu - następnym krokiem jest zastosowanie kolejnego prawa działań na potęgach o ujemnym wykładniku tzn.:
Czyli krótko - gdy widzimy w wykładniku minusa, to odwracamy podstawę potęgi i minus znika. Z kolei jeżeli jeżeli chcemy odwrócić podstawię to ją odwracamy i dopisujemy do wykładnika znak minus.
W naszym przykładzie odwrócę podstawę potęgi po prawej stronie równania:
Widzimy więc - gdy odwracamy podstawę potęgi, to trzeba koniecznie do wykładnika dopisać znak minus. To już jest prawie koniec, gdyż widać, że po obu stronach równania mamy tą samą podstawę \(\frac{2}{3}\) - o to nam właśnie chodziło. Gdy już mamy tą samą podstawę po obu stronach równania wystarczy przyrównać do siebie wykładniki:
To już jest koniec, nasz logarytm wynosi \(-4\) . Czyli ułamek \(\frac{2}{3}\) należy podnieść do potęgi \(-4\) aby otrzymać ułamek \(\frac{81}{16}\) . Prosta sprawa.
Wzory na logarytmy - zadania maturalne
Gdy już wiemy co to jest logarytm i potrafimy obliczać proste i nieco trudniejsze logarytmy, możemy zapoznać się z trzema wzorami, które znajdują się tablicach maturalnych:
Zaprezentujmy zastosowanie tych wzorów na prostych przykładach (pierwszy przykład to jest wzór po lewej, drugi przykład to jest wzór środkowy, trzeci to wzór po prawej):
Rozwiążmy teraz zadanie maturalne, pochodzące z matury podstawowej z maja 2018 roku:
A. 4 B. 2 C. \(2\log_{3}{2}\) D. \(\log_{3}{8}\)
Zapiszmy sobie na początek liczbę \(2\log_{3}{6}\) korzystając ze "środkowego" wzoru z tablic tzn. wrzucimy sobie dwójkę, która jest przed symbolem logarytmu do wykładnika liczby \(2\) , która jest liczbą logarytmowaną:
Następnie zastosujemy wzór na odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach (uprzednio obliczając wartość wyrażenia \(6^2\) czyli \(36\) :
Wystarczy teraz, że podzielony \(36\) przez \(4\) i obliczymy wartość logarytmu:
Widzimy zatem, że poprawną odpowiedzią do tego zadania maturalnego jest odpowiedź B.
Rozwiążemy jeszcze jedno zadanie maturalne w którym pojawi się pewien niuans o którym nie wspomniałem wcześniej. Zadanie pochodzi z matury podstawowej z maja 2021:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
No i tutaj pojawia się pytanie - dlaczego w obu logarytmach nie ma zapisanej podstawy żadnej? Błąd w arkuszu albo coś zapomniałem przepisać (no jeszcze czego...)? Wszystko jest jak najbardziej poprawne. Taki logarytm, który nie ma zapisanej podstawy nazywa się " logarytm dziesiętny " - i w takim logarytmie zakładamy domyślnie, że jest podstawa równa \(10\) . Czyli takie zapisy są równoważne:
Dokładnie na tej samej zasadzie nie trzeba pisać stopnia pierwiastka w pierwiastku kwadratowym, gdyż domyślnie zakładamy, ze jest to pierwiastek stopnia drugiego :
Skoro już wiemy co i jak - przechodzimy do zadania. W wyrażeniu \(2\log_{}{\sqrt{10}}\ \) z liczby \(2\) robimy wykładnik zgodnie ze "środkowym" wzorem z tablic i otrzymamy:
Obliczamy \((\sqrt{10})^2\) co jest równe \(10\) , a następnie stosujemy wzór na dodawanie logarytmów o tych samych podstawach (pamiętamy, że w obu logarytmach jest domyślnie podstawa \(10\) ):
Następnie zgodnie z prawem działań na potęgach wiemy, że mnożymy potęgi o tych samych podstawach to dodajemy ich wykładniki, czyli \(10\cdot10^3=10^4\) . Otrzymamy \(\log_{}{10^4}\) i możemy wykładnik \(4\) wyrzucić przed symbol logarytmu dziesiętnego:
Na koniec pozostaje tylko obliczyć ile wynosi \(\log_{}{10}\) , czyli zadajemy sobie pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę \(10\) aby otrzymać liczbę \(10\) ? Oczywiście do potęgi pierwszej, gdyż \(10^1=10\) . Liczymy i zaznaczamy poprawną odpowiedź C:
To by było na tyle w dzisiejszym odcinku, dzięki!
5.0