Udostępnij:

Matematyka

Działania na logarytmach - zadania maturalne z poziomu podstawowego

W tym wpisie wyjaśnię czym jest logarytm oraz na kilku zadaniach maturalnych pokażę w jaki sposób korzystać ze wzorów na logarytmy, które są zawarte w tablicach maturalnych.

Co to jest logarytm?

Na początek oczywiście odpowiemy sobie na podstawowe pytanie: co to jest logarytm? Spójrzmy do formalnej regułki, którą znajdziesz w tablicach maturalnych w rozdziale trzecim:

Rys. 1 Formalna definicja logarytmu pochodząca z tablic maturalnych z rozdziału trzeciego

Wszystko jasne? Też tak myślę, bo to proste. Gdyby jednak ktoś jeszcze potrzebował wyjaśnień, spieszę z pomocą. Tak więc wprowadźmy sobie kilka pojęć na początek:

Rys. 2 Wyjaśnienie symboli ​​​​​

Zatem po kolei - ta najmniejsza literka "a" to jest tzw. podstawa logarytmu . Liczba "c" to jest liczba logarytmowana , natomiast liczba "b" to jest właśnie logarytm . Tyle jeśli chodzi o nazwy. Liczby te muszą, zgodnie z tym co jest napisane w tablicach, spełniać określone warunki tzn. liczba "a" musi być dodatnia i nie może być równa 1 , natomiast liczba "c" musi być dodatnia . Odnośnie znaczka " \(\Leftrightarrow\) " - ten symbol czytamy "wtedy i tylko wtedy, gdy". Zatem to co jest napisane na rysunku 2. na czarno przeczytamy: "Logarytm przy podstawie "a" z liczby "c" jest równy "b" wtedy i tylko wtedy, gdy "a" do potęgi "b" jest równe "c"". Przyjrzyjmy się teraz przykładom liczbowym aby zrozumieć co to jest logarytm. 

Rys. 3 Przykłady logarytmów​​​ Rys. 4 Do jakiej potęgi należy "x" podnieść 2 aby otrzymać 16? Do jakiej potęgi "x" należy podnieść 3 aby otrzymać 9?

Zatem przyjrzyjmy się powyższemu rysunkowi - w pierwszym przykładzie mamy napisane, że logarytm przy podstawie 2 z 8 jest równy 3, ponieważ 2 do potęgi 3 jest równy 8. Zatem obliczając logarytm musimy sobie zadać pytanie: do jakiej potęgi podnieść podstawę logarytmu aby otrzymać liczbę logarytmowaną? Można to też zobrazować w inny sposób: 

Rys. 4 Do jakiej potęgi należy "x" podnieść 2 aby otrzymać 16? Do jakiej potęgi "x" należy podnieść 3 aby otrzymać 9?

Na drugim i trzecim przykładem pokazałem jak można liczyć proste logarytmy - oznaczamy nasz logarytm jako "x" i tworzymy za pomocą metody "kółeczka" zaprezentowanej na rysunku 4. tak zwane równanie wykładnicze  - czyli takie równanie w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku. Widzimy zatem, że tworząc takie równanie łatwo jest w tych przykładach odpowiedzieć na pytania postawione pod rysunkiem pytania - gdyż 2 do potęgi 4 jest równe 16, natomiast 3 do potęgi drugiej jest równe 9. Odpowiadając więc na pytanie postawione na początku artykułu:

Co to jest logarytm?  - logarytm jest to taka liczba, do potęgi której należy podnieść podstawę logarytmu aby otrzymać liczbę logarytmowaną.

Na rysunku 4. zatem logarytmem są po prostu liczby oznaczone jako "x" i tyle. 

Jak obliczać logarytmy?

No dobra, to wiemy co to jest logarytm i wiemy jak działać w takich prostych przykładach. A co w sytuacji, gdy ktoś nam zapoda w twarz czymś takim?

Rys. 5 No i co teraz?

Opcje są dwie: Pierwsza - wstajemy z ławki, robimy dramę nauczycielowi próbując mu wmówić, że jest nieczuły i nas nie rozumie, rozpłakujemy się i mamy nadzieję, że zwolnią nauczyciela. Jeżeli jednak z jakichś powodów ktoś woli się po prostu nauczyć czegoś (bo matura i takie tam) i ma chęć poszerzania wiedzy (lub też po prostu nie zwolnili nauczyciela) to polecam opcję drugą - czyli tak jak w poprzednich przykładach - oznaczamy sobie nasz logarytm jako "x" i tworzymy równanie wykładnicze za pomocą metody "kółeczka":

Rys. 6 A no tak jak wcześniej, oznaczamy sobie nasz logarytm jako "x" i tworzymy równanie wykładnicze

Mamy zatem utworzone równanie wykładnicze. Co dalej? Dla niektórych odpowiedź tak od razu na pytanie ile wynosi "x" nie jest taka prosta i oczywista. Jeżeli jest, to spoko, jesteś super. Jeżeli nie jest, to też jesteś super i przy okazji pokażę Ci co dalej robić, abyś był jeszcze bardziej super. Tak więc przechodząc do rzeczy: należy obie strony równania doprowadzić do tej samej podstawy. Co to znaczy do tej samej podstawy? Szybkie przypomnienie poprawnej nomenklatury odnośnie potęg:

Rys. 7 Potęga, podstawa potęgi i wykładnik potęgi

Przykładowo: gdy mamy do czynienia z wyrażeniem  \(3^2\) , to takie wyrażenie nazwiemy potęgą . Liczbę "3" nazwiemy podstawą potęgi , natomiast liczba "2" nazwiemy wykładnikiem potęgi.  

Wracając do naszego logarytmu - musimy doprowadzić obie strony równania wykładniczego do tej samej podstawy. Jak to zrobić? A no tutaj trzeba mieć trochę obeznania z działaniami na potęgach , więc jeżeli czujesz, że na ten moment nie ogarniasz w ogóle praw działań na potęgach to polecam wpierw nadrobić ten temat, a dopiero potem wrócić do logarytmów. W przyszłości na pewno nagram kurs i napiszę artykuł odnośnie działań na potęgach i pierwiastkach. ale spokojnie - wszystkie przejścia w tym przykładzie wytłumaczę krok po kroku.

Tak więc przechodząc do naszego przykładu - zauważamy, że liczbę  \(81\)  możemy przedstawić jako potęgę  \(3^4\) , natomiast liczbę  \(16\)  możemy przedstawić jako potęgę  \(2^4\) . Zgodnie z jednym z praw działań na potęgach - gdy licznik i mianownik ułamka są podniesione do tej samej potęgi - możemy cały ułamek zapisać w nawiasie i podnieść do tego wykładnika , czyli u nas: 

Rys. 8 Wykorzystanie prawa działań na potęgach

Ktoś może zadać słuszne pytanie: "A jak mam zauważyć, że liczbę  \(81\)  mam zapisać jako  \(3^4\) , a nie na przykład  \(9^2\) , z kolei  \(16\) jako  \(2^4\) , a nie na przykład  \(4^2\) ?" - Otóż po pierwsze, po lewej stronie równania widzimy wyrażenie  \((\frac{2}{3})^x\) , zatem widzimy liczby  \(2 \)  i  \(3\)  - to już jest pierwsza podpowiedź . Natomiast po drugie - to jest kwestia przeliczenia kilkunastu / kilkudziesięciu tego typu przykładów  i wtedy "to się widzi" od razu. Polecam na początku nauki "zauważania" takich potęg korzystać z takiej tabelki:

Rys. 9 Tabelka z podstawowymi potęgami

Gdy nauczymy się tej tabelki, "zauważanie" faktu, że daną liczbę można zapisać jako potęgę innej liczby będzie znacznie prostsze. Powróćmy do przykładu - następnym krokiem jest zastosowanie kolejnego prawa działań na potęgach o ujemnym wykładniku tzn.:

Rys. 10 Co robić w sytuacji gdy mamy ujemny wykładnik

Czyli krótko - gdy widzimy w wykładniku minusa, to odwracamy podstawę potęgi i minus znika. Z kolei jeżeli jeżeli chcemy odwrócić podstawię to ją odwracamy i dopisujemy do wykładnika znak minus.

W naszym przykładzie odwrócę podstawę potęgi po prawej stronie równania:

Rys. 11 Odwracamy podstawę - dopisujemy minusa do wykładnika

Widzimy więc - gdy odwracamy podstawę potęgi, to trzeba koniecznie do wykładnika dopisać znak minus. To już jest prawie koniec, gdyż widać, że po obu stronach równania mamy tą samą podstawę  \(\frac{2}{3}\)  - o to nam właśnie chodziło. Gdy już mamy tą samą podstawę po obu stronach równania wystarczy przyrównać do siebie wykładniki:

Rys. 12 Gdy mamy te same podstawy - przyrównujemy wykładniki

To już jest koniec, nasz logarytm wynosi  \(-4\) . Czyli ułamek  \(\frac{2}{3}\)  należy podnieść do potęgi  \(-4\)  aby otrzymać ułamek  \(\frac{81}{16}\) . Prosta sprawa. 

Wzory na logarytmy - zadania maturalne

Gdy już wiemy co to jest logarytm i potrafimy obliczać proste i nieco trudniejsze logarytmy, możemy zapoznać się z trzema wzorami, które znajdują się tablicach maturalnych:

Rys. 13 Wzory z tablic maturalnych z rozdziału trzeciego "Logarytmy"

Zaprezentujmy zastosowanie tych wzorów na prostych przykładach (pierwszy przykład to jest wzór po lewej, drugi przykład to jest wzór środkowy, trzeci to wzór po prawej):

Rys. 14 Zastosowanie wzorów na logarytmy z tablic maturalnych na przykładach liczbowych

Rozwiążmy teraz zadanie maturalne, pochodzące z matury podstawowej z maja 2018 roku:

Maj 2018 (1 pkt) Zadanie 1.  Liczba  \(2\log_{3}{6} \ -\log_{3}{4}\)  jest równa 

      A. 4                    B. 2                   C.  \(2\log_{3}{2}\)                    D.  \(\log_{3}{8}\)  

Zapiszmy sobie na początek liczbę  \(2\log_{3}{6}\)  korzystając ze "środkowego" wzoru z tablic tzn. wrzucimy sobie dwójkę, która jest przed symbolem logarytmu do wykładnika liczby \(2\) , która jest liczbą logarytmowaną:

Rys. 15 Zastosowanie "środkowego" wzoru z tablic maturalnych

Następnie zastosujemy wzór na odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach (uprzednio obliczając wartość wyrażenia \(6^2\)  czyli  \(36\) :

Rys. 16 Zastosowanie wzoru na odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach - czyli zamieniamy to na jeden logarytm z dzielenia liczb logarytmowanych

Wystarczy teraz, że podzielony  \(36\)  przez  \(4\)  i obliczymy wartość logarytmu:

Rys. 17 Obliczanie wartości logarytmu

Widzimy zatem, że poprawną odpowiedzią do tego zadania maturalnego jest odpowiedź B.

Rozwiążemy jeszcze jedno zadanie maturalne w którym pojawi się pewien niuans o którym nie wspomniałem wcześniej. Zadanie pochodzi z matury podstawowej z maja 2021:

Zadanie 4. (1 pkt) Maj 2021 Suma  \(2\log_{}{\sqrt{10}}\ +\log_{}{10^3}\)  jest równa

                  A. 2                    B. 3                   C. 4                D. 5

No i tutaj pojawia się pytanie - dlaczego w obu logarytmach nie ma zapisanej podstawy żadnej? Błąd w arkuszu albo coś zapomniałem przepisać (no jeszcze czego...)? Wszystko jest jak najbardziej poprawne. Taki logarytm, który nie ma zapisanej podstawy nazywa się " logarytm dziesiętny " - i w takim logarytmie zakładamy domyślnie, że jest podstawa równa  \(10\) . Czyli takie zapisy są równoważne:

Rys. 18 Logarytm dziesiętny, czyli domyślnie zakładamy, że podstawa logarytmu jest równa 10 ale nie trzeba tego pisać. 

Dokładnie na tej samej zasadzie nie trzeba pisać stopnia pierwiastka w pierwiastku kwadratowym, gdyż domyślnie zakładamy, ze jest to pierwiastek stopnia drugiego :

Rys. 19 W pierwiastku kwadratowym domyślnie zakładamy, że jest on drugiego stopnia i nie trzeba tego pisać za każdym razem.

Skoro już wiemy co i jak - przechodzimy do zadania. W wyrażeniu  \(2\log_{}{\sqrt{10}}\ \)  z liczby  \(2\)  robimy wykładnik zgodnie ze "środkowym" wzorem z tablic i otrzymamy:

Rys. 20 Liczba 2 staje się wykładnikiem pierwiastka z 10.

Obliczamy  \((\sqrt{10})^2\)  co jest równe  \(10\) , a następnie stosujemy wzór na dodawanie logarytmów o tych samych podstawach (pamiętamy, że w obu logarytmach jest domyślnie podstawa  \(10\) ):

Rys. 21 Podnosimy pierwiastek z 10 do kwadratu i stosujemy wzór na dodawanie logarytmów o tych samych podstawach

Następnie zgodnie z prawem działań na potęgach wiemy, że mnożymy potęgi o tych samych podstawach to dodajemy ich wykładniki, czyli \(10\cdot10^3=10^4\) . Otrzymamy  \(\log_{}{10^4}\)  i możemy wykładnik  \(4\)  wyrzucić przed symbol logarytmu dziesiętnego:

Rys. 22 Korzystamy z prawa działań na potęgach i wyrzucamy liczbę 4 przed symbol logarytmu dziesiętnego Rys. 23 Obliczamy wartość logarytmu dziesiętnego i zapisujemy końcowy wynik

Na koniec pozostaje tylko obliczyć ile wynosi   \(\log_{}{10}\) , czyli zadajemy sobie pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę  \(10\)  aby otrzymać liczbę  \(10\) ? Oczywiście do potęgi pierwszej, gdyż  \(10^1=10\) . Liczymy i zaznaczamy poprawną odpowiedź C:

 

Rys. 23 Zaznaczamy poprawną odpowiedź i jesteśmy super

To by było na tyle w dzisiejszym odcinku, dzięki!