Dowodzenie twierdzeń - poziom podstawowy

W tym nagraniu pokazuję czym są wzory skróconego mnożenia oraz w jaki sposób podnosić do kwadratu dane wyrażenie za pomocą kwadratu sumy lub różnicy.

Omawiam również wzór na różnicę kwadratów i wyjaśniam jak rozpoznać, w jakich sytuacjach stosować dany wzór.

W tym odcinku pokazuję w jaki sposób daną sumę algebraiczną “zwinąć” do postaci kwadratu sumy lub kwadratu różnicy oraz jak rozpoznać do którego wzoru dążymy w danej sytuacji.

Na końcu pokazuję również kiedy nie wolno danego wyrażenia zapisywać za pomocą wzorów skróconego mnożenia. 

W tym nagraniu pokazuję na konkretnych przykładach czym są równania i nierówności równoważne.

W tym odcinku omawiam z czego składa się twierdzenie, a następnie przeprowadzam pierwsze dwa dowody nierówności w kursie. W pierwszym z nich pokazuję w jaki sposób przyjąć założenie i tezę danego twierdzenia.

Następnie przekształcę wyjściową nierówność w sposób równoważny dochodzać do takiej nierównosci, o ktorej z całą pewnością można stwierdzić, że jest prawdziwa. 

W drugim dowodzie również przekształcę nierówność w sposób równoważny, lecz tym razem pokażę w jaki sposób założenie wpływa na poprawne przeprowadzenie dowodu. 

W tym nagraniu przeprowadzam kolejne trzy dowody nierówności, krok po kroku.

Zwrócę szczególną uwagę na to, kiedy możemy mnożyć obustronnie nierówność przez wyrażenie z niewiadomą.

W tym odcinku odcinku przeprowadzę kolejne trzy dowody nierówności.

W pierwszej z nich znajdują się pierwiastki po obu stronach - aby się ich pozbyć, podniosę obustronnie nierówność do kwadratu i dokładnie wyjaśnię na prostych przykładach liczbowych w których sytuacjach wolno podnosić nierówność do kwadratu (ogólnie do parzystej potęgi). 

W kolejnych dwóch zadaniach zajmiemy się trudniejszym typem nierówności do udowodnienia - nie będzie można od razu przekształcić lewej strony nierówności do postaci kwadratu sumy lub kwadratu różnicy. Pokażę w jaki sposób przekształcać tego typu nierówności aby można było zastosować wzory skróconego mnożenia. 

W tym nagraniu zajmę się dowodzeniem dwóch równań.

W pierwszym równaniu przeniosę wszystko na lewą stronę i zastosujemy wzór na kwadrat różnicy. 

W drugim równaniu wykorzystamy założenie i podniesiemy je obustronnie do kwadratu, po czym przekształcę równanie równoważnie w taki sposób, aby otrzymać tezę z treści zadania.

W tym odcinku udowodnię prawdziwości kolejnych dwóch równań.

W pierwszym z nich uproszczę prawą stronę równania i przeniosę wszystko na lewą stronę, a następnie wykorzystam wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. 

Drugie równanie jest nieco trudniejsze do udowodnienia - na początku przerzucę wszystko na lewą stronę, a następnie dwukrotnie wyciągnę wspólny czynnik przed nawias. 

W tym nagraniu wyjaśnię w jaki sposób zapisać informację o tym, że dane wyrażenie jest podzielne przez liczbę całkowitą.

Pokażę następnie jak w jednym z zadań rozpisać sumę pięciu kolejnych liczb całkowitych i wykażę, że jest ona podzielna przez 5.

W następnym zadaniu pokażę w jaki sposób zapisać liczbę parzystą 

i nieparzystą przy pomocy symboli literowych. Następnie zapiszę różnicę kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych i wykażę, że jest ona podzielna przez 8.

W tym nagraniu pokażę jak postępować w przypadku wyrażeń w którym występują potęgi.

W pierwszym zadaniu doprowadzę wszystkie potęgi do wspólnej podstawy, a następnie wyciągnę największy wspólny czynnik przed nawias. 

W kolejnym zadaniu wyjaśnię jaki jest następny krok w sytuacjach, w których wyłączenie przed nawias największego wspólnego czynnika nie kończy bezpośrednio dowodu podzielności.

W tym odcinku pokażę w jaki sposób zapisać informację o tym, że dane wyrażenie przy dzieleniu przez liczbę całkowitą daje konkretną resztę.

Pokażę to wpierw na konkretnych przykładach liczbowych, a następnie użyję zapisu na literach. Po takim wstępie teoretycznym przeprowadzę przykładowy dowód krok po kroku, w którym pokażę jak zastosować te informacje w praktyce.

W tym odcinku przeprowadzę dwa dowody.

W pierwszym z nich pokażę, że kwadrat sumy dwóch liczb całkowitych różniących się o 11 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Zapiszę wpierw dwie liczby różniące się o 11 za pomocą symboli literowych, a następne krok po kroku omówię przekształcenia potrzebne w tym dowodzie.

W drugim dowodzie zapiszę najpierw informację o tym, że liczby a i b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio 1 i 4. Następnie zapiszę różnicę kwadratów liczb a i b oraz udowodnię, że różnica ta jest podzielna przez 5.