Udostępnij:

Mechanika

Kratownice krok po kroku - Metoda równoważenia węzłów

W tym wpisie dowiemy się jak obliczyć siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej przy wykorzystaniu metody równoważenia węzłów.

Mam daną kratownicę o schemacie statycznym jak na rysunku poniżej.

Rys. 1 Kratownica statycznie wyznaczalna
Rys. 1 Kratownica statycznie wyznaczalna

Pokaże jak krok po kroku rozwiązać zadanie polegające na obliczeniu sił we wszystkich prętach tej kratownicy przy wykorzystaniu metody równoważenia węzłów

Obliczam reakcje podporowe

W poprzednim wpisie wyznaczyłem wartości reakcji podporowych w powyższej kratownicy, skorzystam zatem z otrzymanych rozwiązań. Jeśli ktoś chciałby poznać w jaki sposób obliczyłem reakcje podporowe zapraszam do zapoznania się z moim poprzednim wpisem.

Rys. 2 Obliczenie reakcji podporowych w kratownicy
Rys. 2 Obliczenie reakcji podporowych w kratownicy

Mając wyznaczone wartości wszystkich reakcji podporowych w mojej kratownicy mogę przystąpić do obliczania sił wewnętrznych w prętach wykorzystując metodę równoważenia węzłów.

Metoda równoważenia węzłów

Metoda równoważenia węzłów polega na wycinaniu poszczególnych węzłów z kratownicy oraz obliczania na postawie równowagi sił wewnętrznych i zewnętrznych wartości sił w poszczególnych prętach. Do obliczeń mogę używać dwóch równań równowagi tj. sumy rzutów sił pionowych oraz sumy rzutów sił poziomych .

Biorąc pod uwagę to, że mam do dyspozycji dwa równania równowagi , mogę wyciąć wyłącznie taki węzeł, w którym nieznane są wiły tylko w dwóch prętach. Zgodnie z powyższym bezcelowe byłoby wycinanie węzła nr 1 ponieważ schodzą się w nim trzy pręty, w których nie znamy wartości siły osiowej.Wyciąć mogę węzeł nr 5, w którym schodzą się wyłącznie dwa pręty.

Rys. 3 Wycięcie węzła nr 5
Rys. 3 Wycięcie węzła nr 5

Wycięcia dokonuje bardzo blisko punktu 5 ale nie w samym punkcie, w tzw. granicy punktu. Zaznaczam wektory sił w prętach 5-4 i 1-5. Zakładając zwrot do wewnątrz pręta, zakładam jednocześnie że siły N54 i N15 są siłami wewnętrznymi powstającymi na skutek rozciągania prętów. Obliczenia pokażą czy moje założenie było prawdziwe.

Wykorzystując równanie sumy rzutów sił na oś x, szukam w naszym wyciętym węźle wszystkich sił równoległych do osi x. Jeśli zwrot siły jest zgodny ze zwrotem osi x wpisuje siłę ze znakiem dodatnim, jeśli przeciwny ze znakiem ujemnym. Analogicznie postępuje wykorzystując równanie sumy rzutów sił na oś y.

Na podstawie dwóch powyższych równań równowagi wyznaczam wartości sił N54 i N15. Obie wartości sił wyszły ujemne co oznacza, że moje wstępne założenie zwrotu sił w prętach było błędne. Oba pręty schodzące się w węźle nr 5 są prętami ściskanymi.

Rys 4. Wycięcie węzła nr 1
Rys 4. Wycięcie węzła nr 1

Kolejnym węzłem, który mogę wyciąć jest węzeł nr 1. Znając wartość siły w pręcie N15 mogę obliczyć wartości sił w prętach N12 i N14. Już na początku muszę zauważyć, że pręt N14 jest prętem ukośnym a co za tym idzie siła wewnętrzna w tym pręcie również jest siłą o kierunku działania pod kątem alfa do osi x i y.

Abym mógł zapisać równania sumy rzutów sił na oś x i y, muszę uprzednio rozłożyć siłę w pręcie N14 na dwie składowe równoległe do każdej z osi naszego układu współrzędnych tj. składową N14x i N14y.

Wykonuje prostokątne rzutowanie wektora N14 na oś x i y. Powstają dwa trójkąty prostokątne. Następnie korzystając z własności funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym obliczam składową poziomą i pionową siły w pręcie N14.

Następnie zapisując równania sumy rzutów sił na oś x i y obliczam wartości sił w prętach N14 i N12.

Rys.5 Wycięcie węzła nr 2
Rys.5 Wycięcie węzła nr 2

Kolejnym węzłem, który mogę wyciąć z uwagi na fakt, że są w nim wyłącznie dwie niewiadome siły w prętach jest węzeł nr 2. Wycinając węzeł nr 2 mogę obliczyć siłę w prętach N23 i N34 ponieważ wcześniej obliczyłem siłę w pręcie N12.

W obliczeniach korzystam z sumy rzutów sił na oś x i y szukając odpowiednio sił równoległych do osi i jeśli zwrot siły jest zgodny z założonym zwrotem osi siła w równaniu jest dodatnia, jeśli zwrot jest przeciwny to siła jest ujemna.

Tym sposobem wyznaczam siły w prętach N23 i N34.

Rys. 6 Wycięcie węzła nr 3
Rys. 6 Wycięcie węzła nr 3