Ćwiartki przestrzeni w rzutach Monge’a

Rzuty Monge’a to rodzaj rzutowania równoległego , w którym pokazujemy spłaszczone widoki obiektu odniesione na płaszczyzny – rzutnie . Najczęściej wykorzystywane są dwie podstawowe rzutnie, pozioma Π1 i pionowa Π2 , ustawione do siebie pod kątem prostym, które można porównać do podłogi i ściany. Granicę pomiędzy rzutniami nazywamy osią x12 , gdzie dolny indeks oznacza, że połączone zostały właśnie rzutnia pierwsza i druga.

W takim podstawowym układzie posługujemy się również dwoma widokami. Pierwszy , określany prim (‘) , odnosi się do widoku z góry tak, jakby elementy były prostopadle, pionowo spłaszczone na poziomą rzutnię Π1.. Drugi widok , oznaczany bis (”) , odzwierciedla spojrzenie od przodu i poziome odniesienie elementów na pionową rzutnię Π2. Trzeba pamiętać, że skoro rzutnie, pionowa i pozioma, są do siebie ustawione prostopadle, to za każdym razem, czy przy spojrzeniu z góry, czy od przodu, jedna z rzutni będzie przez obserwatora widziana w formie linii, która na płaskim rysunku pokryje się z osią x12.

W pierwszym rzucie w całości zobaczymy rzutnię poziomą, a pionowa będzie w formie linii, czyli widok z góry pokazuje głębokość elementu względem pionowej rzutni Π2 .

W widoku z przodu odwrotnie – pozioma rzutnia będzie jako linia, pionowa zaś w całości. Oznacza to, że w drugim rzucie zobaczymy wysokość elementu względem poziomej rzutni Π1.

Najczęściej opisywany w rzutach obiekt znajduje się nad rzutnią poziomą i przed rzutnią pionową , czyli w tzw. pierwszej ćwiartce przestrzeni . Jednak rzutnie, jak wszystkie płaszczyzny, są nieskończenie wielkie, co oznacza, że pionowa rzutnia rozciąga się jeszcze pod poziomą, a pozioma znajduje się również za pionową, wydzielając kolejne ćwiartki przestrzeni. I tak kolejno możemy powiedzieć, że nad poziomą, ale za pionową rzutnią mamy ćwiartkę II , za pionową i pod poziomą – ćwiartkę III , a pod poziomą, ale przed pionową rzutnią – ćwiartkę IV . Obrazuje to poniższy rysunek, który po lewej stronie przedstawia sytuację w układzie aksonometrycznym (widzianą pod kątem), po prawej zaś każda z rzutni jest widziana idealnie od boku, w formie linii prostej, a krawędź pomiędzy rzutniami pojawia się w formie punktu.

Żeby określić położenie punktu w odpowiedniej ćwiartce przestrzeni, należy zapamiętać, że widok pierwszy (z góry) mówi nam o głębokości punktu , który może się znajdować przed lub za rzutnią pionową .

Na rzucie z góry położenie przed rzutnią pokazywane jest poniżej osi x12 , położenie za rzutnią oznacza się powyżej tej osi .

Widok drugi natomiast opisuje wysokość elementu.

Wysokość może być dodatnia nad rzutnią poziomą lub ujemna pod rzutnią poziomą, co na rysunku oznaczane jest odpowiednio powyżej i poniżej osi x12.

W ten sposób, określając punkt, sprawdzamy jednocześnie, czy jest on przed , czy za rzutnią pionową (indeks ‘) – i eliminujemy już dwie ćwiartki, które nie spełniają warunku – oraz czy jest nad czy pod rzutnią poziomą (indeks ”) , a wówczas zostaje tylko jedna ćwiartka, która spełnia obydwa warunki.

Przykładowo:

punkt A’ znajduje się powyżej osi x12, czyli za rzutnią pionową (punkt może znajdować się w takim razie w II lub III ćwiartce), a jednocześnie A” znajduje się poniżej osi x12, czyli pod rzutnią poziomą (wchodzą w grę III i IV ćwiartka). W takim przypadku III ćwiartka przestrzeni to jedyna, w której punkt może leżeć jednocześnie za pionową rzutnią i pod poziomą .

Przypisanie punktu do ćwiartki przestrzeni

W zadaniu możemy być również poproszeni o narysowanie punktu o podanej liczbowo wysokości i głębokości oraz o określenie, w jakiej ćwiartce znajduje się narysowany punkt. W takiej sytuacji należy pamiętać, że wartość zawsze odmierzamy od osi x12 , a także po której stronie znajdują się wartości dodatnie (dla wysokości nad rzutnią, dla głębokości przed rzutnią), a po której ujemne (pod i za). Przykłady zostały pokazane na poniższym rysunku.

Głębokość i wysokość elementu zawsze odmierzamy od osi x12.

Po narysowaniu rzutów zadanych punktów najłatwiej określić ćwiartki, posługując się schematycznym rysunkiem. Oznaczamy na nim ćwiartki spełniające warunki, osobno dla widoku z góry (odpowiadamy na pytanie, czy punkt leży przed, czy za), osobno dla widoku z boku (zastanawiamy się, czy nad, czy pod) i wybieramy tę ćwiartkę/ćwiartki, które spełniają obydwa warunki.

Przypisanie punktów do odpowiednich ćwiartek

Warto pamiętać, że punkt o zerowej głębokości leży na rzutni pionowej , a zerowa wysokość oznacza położenie bezpośrednio na rzutni poziomej . Punkt, który miałby zerową zarówno wysokość, jak i głębokość, znajduje się zatem na osi x12 i leżąc na ich połączeniu, należy do wszystkich czterech ćwiartek.

Określenie, przez które ćwiartki przestrzeni przechodzi prosta , wymaga wyznaczenia jej punktów przebicia z rzutniami i określenia położenia tych punków przebicia w przestrzeni.

Przykładowo:

Prosta a przebija rzutnię poziomą w pkt. Ha , co widzimy w widoku bocznym (Ha”), w miejscu, gdzie prosta przecina oś x12. Znaleziony punkt możemy przenieść na prostą w widoku z góry (Ha’).

Punkt przebicia z rzutnią poziomą widać na rzucie drugim , kiedy rzutnia pozioma widziana jest w formie linii.

Analogicznie, tym razem na widoku z góry , znajdujemy pkt Va , gdzie prosta przebija rzutnię pionową , wpadając w oś x12 (Va’), i przenosimy na prostą widzianą z boku (Va”).

Punkt przebicia z rzutnią pionową widać na rzucie pierwszym , kiedy rzutnia pionowa widziana jest w formie linii.

Następnie na schemacie lokalizujemy położenie punktów Ha i Va. Łącząc punkty i pamiętając, że przechodząca przez nie prosta jest nieskończenie długa , zobaczymy, przez które ćwiartki przestrzeni przechodzi.

Przypisanie prostej do ćwiartek przestrzeni

Więcej zadań i informacji o rzutach, ćwiartkach przestrzeni i punktach przebicia z rzutniami, a także o kolejnych tematach – transformacjach, przynależności i równoległości w rzutach Monge’a – można znaleźć w kursie Rzuty Monge’a – transformacja, przynależność, równoległość , do którego obejrzenia serdecznie zapraszam.