Bilans cieplny to początkowe zagadnienie poruszane w termodynamice. Wiedząc, że system jest izolowany cieplnie (nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem) suma ciepła oddanego przez jedną substancję musi być równa ciepłu pobranemu przez drugą substancję.
Zadanie
Wymiennik ciepła składa się z węża w kształcie cewki owiniętego wokół głównego przewodu. Woda w wężu jest używana do chłodzenia wody w głównym przewodzie i jej strumień wynosi \(\dot{m_w} = 13 \frac{kg}{s}\) . Temperatura na wejściu węża wynosi \(20 ^\circ C\) , a na wyjściu \(45 ^\circ C\) . Woda w głównym przewodzie płynie ze strumieniem \(\dot{m_p} = 20 \frac{kg}{s}\) . Jeżeli jej temperatura na wejściu wynosi \(90 ^\circ C\) , jaka będzie jej temperatura na wyjściu?
Rozwiązanie
Z treści zadania wynika, że zmiana temperatury strumienia \(\dot{m_w}\) wynosi \(\Delta T_w=T_2-T_1\) . Podstawiając mamy:
\(\Delta T_w=45 ^\circ C-20 ^\circ C=25^\circ C \)
Zatem możemy również zapisać, że \(\Delta T_w=25K \) .
Ciepło właściwe wody oznaczmy przez \(c\) . Jego wartość nie jest dana, jednak nie jest to problem. Ciepło wymieniane jest między tymi samymi substancjami, więc w równaniu bilansu cieplnego ulegnie skróceniu. Co prawda, ciepło właściwe wody zmienia się wraz z temperaturą, jednak tutaj różnice temperatur są niewielkie, więc można przyjąć, że ciepła właściwe wody w wężu i przewodzie głównym przewodzie są takie same.
Zapiszmy ogólne wyrażenie na ciepło.
gdzie:
- m - masa substancji
- c - ciepło właściwe substancji
- \(\Delta T \) - zmiana temperatury substancji
W tym konkretnym przypadku operujemy nie na konkretnych ilościach substancji, tylko na ich strumieniach. Strumień substancji informuje nas jaka masa przepływa przez dany przekrój w czasie.
Podzielmy ogólne wyrażenie na ciepło przez czas \(t\) .
Otrzymujemy:
\(\frac{Q}{t}=\frac{m}{t}c\Delta T \)
Jednostką \(\frac{Q}{t}\) jest \([\frac{J}{s}]\) , czyli \([W]\) . Wat to jednostka mocy, zatem wyrażenie \(\frac{Q}{t}\) nazywa się mocą cieplną albo strumieniem cieplnym. Informuje ono ile energii cieplnej przekazywane jest w czasie. Wyrażenie \(\frac{Q}{t}\) oznacza się poprzez \(\dot{Q}\) , przy założeniu, że czas, w którym przepływa ciepło jest nieskończenie mały.
Wyrażenie \(\frac{m}{t}\) to wspomniany już strumień substancji. Oznacza się go przez \(\dot{m}\) , przy założeniu, że czas jest nieskończenie mały. Jednostką \(\dot{m}\) jest \([\frac{kg}{s}]\) .
Zatem zapiszmy wyrażenie na strumień cieplny pobierany przez wodę płynącą w wężu.
\(\dot{Q_w}=\dot{m_w}c\Delta T_w \)
Woda w wężu pobiera ciepło od gorącej wody płynącej w głównym przewodzie, zatem temperatura wody w głównym przewodzie musi zmaleć. W związku z tym \(\Delta T_p\) będzie ujemna. Rozpiszmy ją:
\(\Delta T_p=T_4-T_3\)
Zatem wyrażenie na ciepło oddane przez strumień wody w przewodzie głównym przyjmie postać:
\(\dot{Q_p}=\dot{m_p}c\Delta T_p\)
W zadaniu nie ma powiedziane nic o stracie ciepła, zatem zakładamy, że system jest izolowany cieplnie i całe ciepło oddawane przez wodę płynącą w głównym przewodzie jest pobierane przez wodę w wężu. Możemy zatem zapisać równanie bilansu cieplnego:
Dla strumieni cieplnych mamy:
Wracając do oznaczeń stosowanych w zadaniu:
\(\dot{Q_w}+\dot{Q_p}=0\)
Podstawiając wcześniejsze zależności mamy:
\(\dot{m_w}c\Delta T_w +\dot{m_p}c\Delta T_p=0\)
Wstawiając za \(\Delta T_p=T_4-T_3\) , otrzymujemy:
\(\dot{m_w}c\Delta T_w +\dot{m_p}c(T_4-T_3)=0\)
Możemy obustronnie podzielić równanie przez ciepło właściwe wody \(c\) , co daje:
\(\dot{m_w}\Delta T_w +\dot{m_p}(T_4-T_3)=0\)
Wiemy, że różnica \(T_4-T_3\) jest ujemna, więc można wyciągnąć minus przed nawias i przenieść wyrażenie na drugą stronę równania.
\(\dot{m_w}\Delta T_w =\dot{m_p}(T_3-T_4)\)
Następnie należy opuścić nawias i wyznaczyć \(T_4\) .
\( T_4=\frac{\dot{m_p}T_3-\dot{m_w}\Delta T_w}{\dot{m_p}}\)
Upraszczając uzyskujemy ostateczną postać:
\( T_4=T_3-\frac{\dot{m_w}\Delta T_w}{\dot{m_p}}\)
Podstawiając mamy:
\( T_4=90^\circ C-\frac{13 \frac{kg}{s}\cdot25^\circ C}{20\frac{kg}{s}} \)
Co ostatecznie daje:
\( T_4=73,75^\circ C\)
Zawsze należy przeprowadzić chociaż szybką analizę wyniku. Przede wszystkim temperatura \( T_4\) jest mniejsza od \( T_3\) , co ma jak najbardziej fizyczny sens, ponieważ to woda w przewodzie miała kontakt z chłodniejszą substancją, więc jej temperatura spadła.
Jeśli chodzi o wartość, to temperatura spadła o
\(\Delta T_p= T_4-T_3=16,25 ^\circ C\)
, czyli wystąpił niższy spadek temperatury wody w przewodzie głównym, aniżeli wzrost temperatury wody w wężu. Strumień wody w wężu jest mniejszy. Zatem ciepło pobrane od wody w przewodzie głównym będzie rozłożone na mniejszą ilość substancji, więc każda cząsteczka dostanie większą średnią ilość energii, niż cząsteczka wody w przewodzie głównym. W związku z tym zmiana jej temperatury jest większa
(
\(\Delta T_w=25 ^\circ C > \Delta T_p=16,25 ^\circ C \)
)
Jeżeli chcesz dowiedzieć się czym tak naprawdę jest ciepło, jak opisać je matematycznie oraz jak rozwiązywać różne inne typy zadań, zapraszam Cię do oglądnięcia mojego w pełni darmowego kursu Ciepło - całkowite, właściwe, funkcja przejścia i bilans cieplny .
4.0
