Udostępnij:

Wytrzymałość Materiałów

Rozbijanie wykresów - superpozycja (całkowanie graficzne)

W tym artykule nauczę Was jak rozbijać wykresy złożone metodą superpozycji w całkowaniu graficznym metodą Wereszczagina.

Całkowanie graficzne to alternatywny do całkowania analitycznego sposób całkowania iloczynu wielomianów. Szczególnie jeśli są to wielomiany wyższego stopnia, to całkowanie ich iloczynu może być skomplikowane rachunkowo i czasochłonne. W takim przypadku możemy skorzystać z całkowania graficznego sposobem Wereszczagina .

Całkowanie graficzne metodą Wereszczagina ma zastosowanie w kilku metodach obliczeniowych, takich jak:

  • Metoda Maxwella Mohra — służy do obliczania przemieszczeń w układach statycznych
  • Metoda Sił — służy do obliczania reakcji i wykresów sił wewnętrznych w układach statycznie niewyznaczalnych

Całkowanie graficzne polega na graficznym mnożeniu przez siebie wykresów momentów gnących. Ustawiamy graficznie dwa wykresy jeden nad drugim.

Pamiętajmy, aby wykres momentu gnącego, w którym występują krzywe drugiego (parabole) i wyższego stopnia zawsze umieścić ponad wykresem, w którym występują wykresy funkcji stałych i liniowych.
Całkowanie graficzne sposobem Wereszczagina
Rys. 1 Całkowanie graficzne sposobem Wereszczagina

W wykresie momentu, który mamy na górze rysujemy wypadkową siłę ciężkości umieszczoną w środku ciężkości pola tego wykresu. Wartość siły wypadkowej jest równa polu wykresu momentów. Następnie pod miejscem lokalizacji siły wypadkowej (środek ciężkości) oznaczamy na wykresie, który jest poniżej rzędną . Całkowanie graficzne metodą Wereszczagina polega na pomnożeniu wypadkowej siły ciężkości z wykresu górnego przez wartość rzędnej pod tą wypadkową w wykresie dolnym. 

Jeżeli wykresy momentów gnących znajdują się po tych samych stronach osi poziomej, to wynik ich całkowania jest dodatni. Jeśli wykresy momentów gnących znajdują się po przeciwnych stronach osi poziomej, to wynik ich całkowania jest ujemny.

Niestety nie zawsze wykresy momentów są prostymi figurami, dla których bez problemów określimy położenie środka ciężkości i obliczymy pole powierzchni. W takich przypadkach musimy  rozbijać wykresy złożone metodą superpozycji .

Zacznę od pokazania sposobu rozbijania prostszych przypadków wykresów momentów i stopniowo będę przechodził do przypadków trudniejszych.

Rozbijanie wykresu momentów - superpozycja (dwa trójkąty)
Rys. 2 Rozbijanie wykresu momentów - superpozycja (dwa trójkąty)

W tym przypadku wykres momentów jest liniowy, ale przechodzi przez oś w nieznanym nam miejscu, tworząc dwa trójkąty po przeciwnych stronach osi wykresu.

Rozbicie wykresu momentów metodą superpozycji
Rys. 2 Rozbicie wykresu momentów metodą superpozycji

Kolejny przykład to wykres momentu gnącego w kształcie trapezu . Zarówno obliczanie pola trapezu jak i szukanie jego środka ciężkości rodzi problemy. Poniżej pokaże dwa sposoby jak rozbić wykres momentów gnących o kształcie trapezu na figury proste .

Wykres momentów gnących w kształcie trapezu
Rys. 3 Wykres momentów gnących w kształcie trapezu

Tego typu wykres możemy rozbić na dwa sposoby. Pierwszy sposób to rozbicie trapezu na prostokąt i trójkąt.

Rozbicie wykresu momentów w kształcie trapezu na prostokąt i trójkąt
Rys. 4 Rozbicie wykresu momentów w kształcie trapezu na prostokąt i trójkąt

Po rozbiciu metodą superpozycji wykresu momentów gnących o kształcie trapezu na prostokąt i trójkąt otrzymaliśmy dwie figury, dla których bez problemu wyznaczenie położenia środka ciężkości .  Bez problemu również obliczymy pole otrzymanych figur.

Kolejnym sposobem na rozbicie wykresu momentu o kształcie trapezu metodą superpozycji jest podzielenie go na dwa trójkąty.

Rozbicie wykresu momentów w kształcie trapezu na dwa trójkąty
Rys. 5 Rozbicie wykresu momentów w kształcie trapezu na dwa trójkąty

Pewnie zatajacie sobie pytanie dlaczego trójkąt o boku a po lewej stronie ma zupełnie inny kształt niż trójkąt o boku a po stronie prawej? Mimo różnych kształtów oba trójkąty mają takie same pola, a co za tym idzie wartość wypadkowej siły ciężkości w całkowaniu graficznym , będzie identyczna. Równiej lokalizacja środka ciężkości w trójkącie po lewej stronie jest identyczna jak w trójkącie po stronie prawej.

Kolejny wykres momentu, jaki rozbijemy, wykorzystując metodę superpozycji to parabola , która powstała na skutek działania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego.

Wykres momentów o kształcie paraboli - rozbicie metodą superpozycji
Rys. 6 Wykres momentów o kształcie paraboli - rozbicie metodą superpozycji

Na powyższym rysunku widzicie dwa rodzaje wykresów o kształcie paraboli . Wykresy powstały na skutek działania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego o wadze q [kN/m].

Rozbicie wykresu o kształcie paraboli na trójkąt i parabolę prostą
Rys. 7 Rozbicie wykresu o kształcie paraboli na trójkąt i parabolę prostą

W pierwszym od góry przypadku zamieniamy parabole na trójkąt poprzez dorysowania pola o kształcie paraboli . Figurę możemy zatem rozbić na zwykły trójkąt oraz prostą parabolę, ale po przeciwnej stronie osi, aby odjąć pole , które dołożyliśmy, aby powstał trójkąt.

Dla prostej paraboli jak na rysunku powyżej znamy wzór na jej maksymalną wysokość h oraz na jej pole powierzchni W.

W przypadku drugiej paraboli, aby powstał trójką, odcinamy od niej część pola o kształcie paraboli. Figurę rozbijamy na trójkąt i prostą parabolę . Tym razem obie figury proste rysujemy po tej samej stronie osi, aby dodać pole wykresu, które odjęliśmy, tworząc trójkąt.

Kolejnym wykresem złożonym, który rozbijemy, za pomocą metody superpozycji jest parabola jak na rysunku poniżej.

Rozbicie wykresu złożonego metodą superpozycji
Rys. 8 Rozbicie wykresu złożonego metodą superpozycji

Tym razem mamy do czynienia z parabolą przecinającą oś poziomą wykresu. Parabola powstała na skutek działania obciążenia ciągłego o wadze q. 

Rozbicie paraboli na trójkąt i parabolę prostą metodą superpozycji
Rys. 8 Rozbicie paraboli na trójkąt i parabolę prostą metodą superpozycji

Cześć paraboli ponad osią wykresu przybliżamy do trójkąta prostokątnego. Część parabolo pod osią przybliżamy do paraboli o pełnej długości. Taki rozkład wykresu momentu pozwala na wykonanie całkowania graficznego sposobem Wereszczagina .

Całkując graficznie , spotkamy się często z sytuacją, w której parabola nie zaczyna i nie kończy się wartością zerową w danym przedziale całkowania .

Rozbicie wykresu momentów na figury proste przy całkowaniu graficznym
Rys. 9 Rozbicie wykresu momentów na figury proste przy całkowaniu graficznym

Na rysunku powyżej mamy dwie wersje tego typu paraboli. Pierwsza przecina oś poziomą wykresu i część paraboli przechodzi na przeciwną stronę osi. Druga nie przecina osi wykresu i wykres momentu w całości pozostaje po jednej stronie osi. Sposób rozbicia w obu przypadkach jest identyczny.

Całkowanie graficzne sposobem Wereszczagina - superpozycja wykresów
Rys. 10 Całkowanie graficzne sposobem Wereszczagina - superpozycja wykresów

Oba wykresy rozbijamy na trapez po górnej stronie osi i parabolę po dolnej stronie osi. Trapez możemy rozbić na trójkąt i prostokąt lub dwa trójkąty w sposób, jaki pokazywałem wyżej. Dla prostej paraboli pod osią znamy wzór na jej ekstremum oraz na pole powierzchni. Dzięki takiemu rozbiciu wykresów możliwe będzie całkowanie graficzne sposobem Wereszczagina .