Całkowanie graficzne to alternatywny do całkowania analitycznego sposób całkowania iloczynu wielomianów. Szczególnie jeśli są to wielomiany wyższego stopnia, to całkowanie ich iloczynu może być skomplikowane rachunkowo i czasochłonne. W takim przypadku możemy skorzystać z całkowania graficznego sposobem Wereszczagina .
Całkowanie graficzne metodą Wereszczagina ma zastosowanie w kilku metodach obliczeniowych, takich jak:
- Metoda Maxwella Mohra — służy do obliczania przemieszczeń w układach statycznych
- Metoda Sił — służy do obliczania reakcji i wykresów sił wewnętrznych w układach statycznie niewyznaczalnych
Całkowanie graficzne polega na graficznym mnożeniu przez siebie wykresów momentów gnących. Ustawiamy graficznie dwa wykresy jeden nad drugim.
W wykresie momentu, który mamy na górze rysujemy wypadkową siłę ciężkości umieszczoną w środku ciężkości pola tego wykresu. Wartość siły wypadkowej jest równa polu wykresu momentów. Następnie pod miejscem lokalizacji siły wypadkowej (środek ciężkości) oznaczamy na wykresie, który jest poniżej rzędną . Całkowanie graficzne metodą Wereszczagina polega na pomnożeniu wypadkowej siły ciężkości z wykresu górnego przez wartość rzędnej pod tą wypadkową w wykresie dolnym.
Niestety nie zawsze wykresy momentów są prostymi figurami, dla których bez problemów określimy położenie środka ciężkości i obliczymy pole powierzchni. W takich przypadkach musimy rozbijać wykresy złożone metodą superpozycji .
Zacznę od pokazania sposobu rozbijania prostszych przypadków wykresów momentów i stopniowo będę przechodził do przypadków trudniejszych.
W tym przypadku wykres momentów jest liniowy, ale przechodzi przez oś w nieznanym nam miejscu, tworząc dwa trójkąty po przeciwnych stronach osi wykresu.
Kolejny przykład to wykres momentu gnącego w kształcie trapezu . Zarówno obliczanie pola trapezu jak i szukanie jego środka ciężkości rodzi problemy. Poniżej pokaże dwa sposoby jak rozbić wykres momentów gnących o kształcie trapezu na figury proste .
Tego typu wykres możemy rozbić na dwa sposoby. Pierwszy sposób to rozbicie trapezu na prostokąt i trójkąt.
Po rozbiciu metodą superpozycji wykresu momentów gnących o kształcie trapezu na prostokąt i trójkąt otrzymaliśmy dwie figury, dla których bez problemu wyznaczenie położenia środka ciężkości . Bez problemu również obliczymy pole otrzymanych figur.
Kolejnym sposobem na rozbicie wykresu momentu o kształcie trapezu metodą superpozycji jest podzielenie go na dwa trójkąty.
Pewnie zatajacie sobie pytanie dlaczego trójkąt o boku a po lewej stronie ma zupełnie inny kształt niż trójkąt o boku a po stronie prawej? Mimo różnych kształtów oba trójkąty mają takie same pola, a co za tym idzie wartość wypadkowej siły ciężkości w całkowaniu graficznym , będzie identyczna. Równiej lokalizacja środka ciężkości w trójkącie po lewej stronie jest identyczna jak w trójkącie po stronie prawej.
Kolejny wykres momentu, jaki rozbijemy, wykorzystując metodę superpozycji to parabola , która powstała na skutek działania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego.
Na powyższym rysunku widzicie dwa rodzaje wykresów o kształcie paraboli . Wykresy powstały na skutek działania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego o wadze q [kN/m].
W pierwszym od góry przypadku zamieniamy parabole na trójkąt poprzez dorysowania pola o kształcie paraboli . Figurę możemy zatem rozbić na zwykły trójkąt oraz prostą parabolę, ale po przeciwnej stronie osi, aby odjąć pole , które dołożyliśmy, aby powstał trójkąt.
W przypadku drugiej paraboli, aby powstał trójką, odcinamy od niej część pola o kształcie paraboli. Figurę rozbijamy na trójkąt i prostą parabolę . Tym razem obie figury proste rysujemy po tej samej stronie osi, aby dodać pole wykresu, które odjęliśmy, tworząc trójkąt.
Kolejnym wykresem złożonym, który rozbijemy, za pomocą metody superpozycji jest parabola jak na rysunku poniżej.
Tym razem mamy do czynienia z parabolą przecinającą oś poziomą wykresu. Parabola powstała na skutek działania obciążenia ciągłego o wadze q.
Cześć paraboli ponad osią wykresu przybliżamy do trójkąta prostokątnego. Część parabolo pod osią przybliżamy do paraboli o pełnej długości. Taki rozkład wykresu momentu pozwala na wykonanie całkowania graficznego sposobem Wereszczagina .
Całkując graficznie , spotkamy się często z sytuacją, w której parabola nie zaczyna i nie kończy się wartością zerową w danym przedziale całkowania .
Na rysunku powyżej mamy dwie wersje tego typu paraboli. Pierwsza przecina oś poziomą wykresu i część paraboli przechodzi na przeciwną stronę osi. Druga nie przecina osi wykresu i wykres momentu w całości pozostaje po jednej stronie osi. Sposób rozbicia w obu przypadkach jest identyczny.
Oba wykresy rozbijamy na trapez po górnej stronie osi i parabolę po dolnej stronie osi. Trapez możemy rozbić na trójkąt i prostokąt lub dwa trójkąty w sposób, jaki pokazywałem wyżej. Dla prostej paraboli pod osią znamy wzór na jej ekstremum oraz na pole powierzchni. Dzięki takiemu rozbiciu wykresów możliwe będzie całkowanie graficzne sposobem Wereszczagina .
5.0
