Udostępnij:

Mechanika

Obliczenia belek, ram oraz kratownic - kontrola wyników

W tym artykule omówię, dlaczego i w jaki sposób należy prowadzić bieżącą kontrole wyników otrzymanych podczas ręcznych obliczeń statycznych belek, ram oraz kratownic.

Dlaczego warto prowadzić bieżącą kontrole wyników  podczas ręcznych obliczeń statycznych?

W trakcie prowadzenia ręcznych obliczeń statycznych może dojść do sytuacji, w której uzyskamy błędne wyniki obliczeń. Do jego najczęstrzych przyczyn można zaliczyć m. in.:

  • brak odpowiedniej wiedzy  z zakresu mechaniki
  • brak odpowiedniego doświadczenia

Jednakże, po zapoznaniu się z zasadami statyki i po przystąpieniu do prowadzenia obliczeń belek, ram oraz kratownic okazuje się bardzo często, że w daszym ciągu mamy problem z otrzymaniem prawidłowych wyników. Ich przyczyna nierzadko wynika:

  • z nieprawidłowego  stosowania wiedzy z zakresu matematyki na poziomie szkoły średniej

Ale nie ma się temu co dziwić, gdyż wiedza nie stosowana ulatuje. Zresztą i sami zawodowcy popełniają błędy. W tym miejscu można, a nawet trzeba przytoczyć dość popularne powiedzenie, które brzmi: "Że tylko ten nie popełnia błędów, kto nic nie robi." 

Bieżąca kontrola wyników pozwala na wychwycenie i uniknięcie błędów w każdej fazie prowadzenia obliczeń statycznych belek, ram czy kratownic, a także innych ustrojów konstrukcyjnych.

Sposoby kontrolowania wyników

Bieżącą kontrole wyników ręcznych obliczeń statycznych można prowadzić między innymi poprzez:

  • sprawdzenie wyników obliczeń reakcji podporowych za pomocą dodatkowego równania równowagi
  • analize wykresów sił wewnętrznych
  • obliczenie pochodnej funkcji momentu
  • sprawdzenie równowagi węzła
  • obliczenia statyczne w oprogramowaniu komputerowym

Sprawdzenie wyników obliczeń reakcji podporowych 

Poprawność wyników obliczeń ręcznych reakcji podporowych można sprawdzić za pomocą dodatkowego równania równowagi układu płaskiego tj. \( \sum F_x = 0 , \sum F_y= 0\) lub  \(\sum M = 0 \) przyjmując odpowiednie równanie w zależności od schematu statycznego belki, ramy lub kratownicy.

Przykład

Mamy daną belkę prostą o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rysunku poniżej.

Rys. 1 Schemat statyczny belki
Rys. 2 Wyniki obliczeń reakcji podporowych belki

Po wykonanniu obliczeń reakcji podporowych można przystąpić do ich weryfikacji za pomocą dodatkowego równania równowagi   \(\sum F_y = 0\)  . 

Rys. 3 Kontrola wyników obliczeń reakcji podporowych belki

Kiedy w wyniku obliczeń dodatkowego układu równań otrzymamy wartość równą zero, mamy pewność, że otrzymane wyniki pionowych reakcji podporowych są poprawne.

Dla przedstwionego przykładu inną możliwością sprawdzenia poprawności wyników obliczeń reakcji podporowych jest wykonanie dodatkowej  sumy momentów  \(( \sum M = 0 )\) względem dowolnego punktu na długości belki z pominięciem punktów, względem których były już prowadzone obliczenia reakcji podporowych.

 

Analiza wykresów sił wewnętrznych

Innym sposobem weryfikacji  wyników prowadzonych obliczeń statycznych jest analiza wykresów sił wewnętrznych ustroju.

Przykład

Mamy daną belkę prostą o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rysunku poniżej.

Rys. 4  Schemat statyczny belki

Po przeprowadzeniu obliczeń reakcji podporowych i sił wewnętrznych sporządono wykresy sił wewnętrznych N, T, M. 

Rys. 5 Wyniki obliczeń reakcji podporowych oraz wykresy sił wewnętrznych belki N, T, M

Teraz przyjrzyjmy się zależności pomiędzy wykresem sił wewnętrznych tnących (T) oraz momentów zginających (M).  Prowadząc analizę wykresów od lewej strony możemy zauważyć, że jeżeli siłą tnąca posiada wartość dodatnią (+) to wartość na wykresie momentów zginających rośnie, natomiast gdy posiada warość ujemną (-) to wartość na wykresie momentów zginających maleje. W przypadku rozpoczęcia analizy od prawej strony należy przyjąć odwrotną analogie zależności pomiędzy wykresem sił tnących (T) oraz momentów zginających (M). 

Gdy wykres sił tnących (T) posiada wartość zerową wykres momentów zginających (M) nie ulega zmianie, ma stałą wartość.

 

Warto też zwrócić uwagę na to, że w miejscu występowania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego wykres momentu zginającego ma kształt paraboli i posiada ekstremalną wielkość w miejscu, w którym siła tnąca jest równa zero (T=0kN). Natomiast w miejcu występowania momentu skupionego na belce występuje lokalna zmiana wartości momentu gnącego  o jego wielkość. Analogiczna zmiana następuje w przypadku występowania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego  oraz siły skupionej w stosunku do wykresu sił tnących (T).

Rys.6 Wykres sił tnących i momentów zginających

Obliczenie pochodnej funkcji momentu

Gdy obliczamy belkę za pomocą funkcji możemy prowadzić bieżącą kontrole wyników sił wewnętrznych tnących (T) oraz momentów zginających (M) za pomocą pochodnej funkcji momentu.

Licząc ustrój od lewej strony pochodna funkcji momentu jest równa funkcji sił tnących, natomiast  licząc go od prawej  strony pochodna funkcji momentu równa się ujemnej funkcji sił tnących.

Rys.7 Pochodna funkcji momentu

Przykład

Omówienie tej metody będziemy kontynuować na poniższym przykładzie.

Rys. 8 Schemat statyczny belki

Sporządzono fukcje sił wewnętrznych N, T, M oraz obliczono ich wartości licząc belkę od prawej strony w przedziale D-C.

Rys. 9 Obliczenia belki za pomocą funkcji sił wewnętrznych N, T, M w przedziale D-A

Po dokonaniu obliczeń można przystąpić do kontroli otrzymanych wyników za pomocą pochodnej funkcji momentu.

Rys. 10 Kontrola wyników za pomocą pochodnej funkcji momentu

Sprawdzenie równowagi węzła

Sprawdzenie równowagi węzła wykonuje się się za pomocą trzech równań równowagi  \( \sum F_x = 0 , \sum F_y= 0\) lub  \(\sum M = 0 \) ,  Pozwala ono określić, czy otrzymaliśmy prawidłowe wartości sił wewnętrznych w analizowanej cześci ustroju.

Przykład

Mamy daną ramę o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rysunku poniżej.

Rys. 11 Schemat statyczny ramy

Po dokonaniu obliczeń reakcji podporowych i  sił wewnętrznych sporządzono wykresy sił wewnętrznych N, T, M.

Rys. 12 Wyniki obliczeń reakcji podporowych ramy
Rys. 13 Wykresy sił wewnętrznych ramy N, T, M

Równowagę węzła wykonuje się w opraciu o siły wewnętrzne znajdujące się nieskończenie blisko węzła oraz siły zewnętrzne, które zlokalizowane są bezpośrednio w anlizowanym węźle. 

Rys. 14 Sprawdzenie równowagi węzła ramy  

Obliczenia statyczne w oprogramowaniu komputerowym

Wyniki ręcznych obliczeń statycznych można weryfikować przy użyciu  oprogramowania komputerowgo przeznaczonego do prowadzenia analizy statycznej. Do tego celu można wykorzystać program: Soldis PROJEKTANT, RM-WIN, AxisVM, Robot Structural Analysis Professional, a także  wielu innych.  Wykorzystanie oprogramowania pozwala prowadzić kontrolę na każdym kroku wykonywania obliczeń, na co nie pozwalają standardowe metody.  W mojej ocenie  najlepszym programem, który można stosować do weryfikacji wyników obliczeń statycznych belek, ram czy kratownic to  program Soldis PROJEKTANT, ponieważ jest on prosty i intuicyjny w obsłudze.

Przykład

Mam daną belkę złożoną o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rysunku poniżej.

Rys. 15 Schemat statyczny belki ciągłej (złożonej)

W pierwszym kroku przystępujemy do zamodelowania belki w programie Soldis PROJEKTANT.

Rys. 16 Model analityczny (Soldis PROJEKTANT)

Po zamodelowaniu belki w programie i po przeprowadzeniu obliczeń otrzymaliśmy wyniki obliczeń reakcji podporowych.

Rys. 17 Wyniki obliczeń reakcji podporowych (Soldis PROJEKTANT)

W kolejnym kroku przechodzimy do przęglądu otrzymanych wyników sił wewnętrznych normalnych (N), tnących (T) oraz momentów zginających (M).

Rys. 18 Wykres sił wewnętrznych normalnych (Soldis PROJEKTANT)
Rys.  19 Wykres sił wewnętrznych tnących (Soldis PROJEKTANT)
Rys. 20 Wykres sił wewnętrznych momentów zginających (Soldis PROJEKTANT)

Na podstawie obliczeń reakcji podporowych i sił wewnętrznych N, T, M w programie Soldis PROJEKTANT można prowadzić bieżącą kontrole wyników otrzymanych na każdym kroku ręcznych obliczeń statycznych belek, ram, czy kratownic.

Mam nadzieje, że artykuł okazał się pomocny.  Więcej informacji na temat prowadzenia obliczeń statycznych belek, ram oraz kratownic znajdziecie w naszych kurach online z zakresu mechaniki  oraz programu  Soldis PROJEKTANT .