Odbierz kod rabatowy -30% na kolejny zakup!Dodaj opinię do kursu, a kupon wyślemy na Twojego maila 😃

Dowodzenie twierdzeń - poziom podstawowy-bg

Dowodzenie twierdzeń - poziom podstawowy

W tym kursie nauczymy się dowodzenia twierdzeń. Kurs skierowany jest do uczniów, przystępujących do egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym.
Autor kursu: Piotr Dejnek
Ostatnia aktualizacja: 15 maja 2020
Czego nauczysz się na tym kursie?
  • Podnoszenia do kwadratu wyrażeń za pomocą wzorów skróconego mnożenia.
  • W jaki sposób “zwijać” dane wyrażenie do postaci kwadratu sumy lub kwadratu różnicy.
  • Czym są równania i nierówności równoważne.
  • W jaki sposób przeprowadzić dowód równania lub nierówności.
  • Co robić w przypadku, gdy w zadaniu dowodowym pojawi się ułamek lub pierwiastek.
  • Dowodzenia podzielności danego wyrażenia przez liczbę całkowitą.
  • Dowodzenia, że dane wyrażenie przy dzieleniu przez liczbę całkowitą daje konkretną resztę.
Program kursu

Całkowity czas: 3:18:41

1. Wstęp 0:01:21

W tym nagraniu pokazuję czym są wzory skróconego mnożenia oraz w jaki sposób podnosić do kwadratu dane wyrażenie za pomocą kwadratu sumy lub różnicy.

Omawiam również wzór na różnicę kwadratów i wyjaśniam jak rozpoznać, w jakich sytuacjach stosować dany wzór.

W tym odcinku pokazuję w jaki sposób daną sumę algebraiczną “zwinąć” do postaci kwadratu sumy lub kwadratu różnicy oraz jak rozpoznać do którego wzoru dążymy w danej sytuacji.

Na końcu pokazuję również kiedy nie wolno danego wyrażenia zapisywać za pomocą wzorów skróconego mnożenia. 

W tym nagraniu pokazuję na konkretnych przykładach czym są równania i nierówności równoważne.

W tym odcinku omawiam z czego składa się twierdzenie, a następnie przeprowadzam pierwsze dwa dowody nierówności w kursie. W pierwszym z nich pokazuję w jaki sposób przyjąć założenie i tezę danego twierdzenia.

Następnie przekształcę wyjściową nierówność w sposób równoważny dochodzać do takiej nierównosci, o ktorej z całą pewnością można stwierdzić, że jest prawdziwa. 

W drugim dowodzie również przekształcę nierówność w sposób równoważny, lecz tym razem pokażę w jaki sposób założenie wpływa na poprawne przeprowadzenie dowodu. 

 

W tym nagraniu przeprowadzam kolejne trzy dowody nierówności, krok po kroku.

Zwrócę szczególną uwagę na to, kiedy możemy mnożyć obustronnie nierówność przez wyrażenie z niewiadomą.

W tym odcinku odcinku przeprowadzę kolejne trzy dowody nierówności.

W pierwszej z nich znajdują się pierwiastki po obu stronach - aby się ich pozbyć, podniosę obustronnie nierówność do kwadratu i dokładnie wyjaśnię na prostych przykładach liczbowych w których sytuacjach wolno podnosić nierówność do kwadratu (ogólnie do parzystej potęgi). 

W kolejnych dwóch zadaniach zajmiemy się trudniejszym typem nierówności do udowodnienia - nie będzie można od razu przekształcić lewej strony nierówności do postaci kwadratu sumy lub kwadratu różnicy. Pokażę w jaki sposób przekształcać tego typu nierówności aby można było zastosować wzory skróconego mnożenia. 

 

W tym nagraniu zajmę się dowodzeniem dwóch równań.

W pierwszym równaniu przeniosę wszystko na lewą stronę i zastosujemy wzór na kwadrat różnicy. 

W drugim równaniu wykorzystamy założenie i podniesiemy je obustronnie do kwadratu, po czym przekształcę równanie równoważnie w taki sposób, aby otrzymać tezę z treści zadania.

 

W tym odcinku udowodnię prawdziwości kolejnych dwóch równań.

W pierwszym z nich uproszczę prawą stronę równania i przeniosę wszystko na lewą stronę, a następnie wykorzystam wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. 

Drugie równanie jest nieco trudniejsze do udowodnienia - na początku przerzucę wszystko na lewą stronę, a następnie dwukrotnie wyciągnę wspólny czynnik przed nawias. 

 

W tym nagraniu wyjaśnię w jaki sposób zapisać informację o tym, że dane wyrażenie jest podzielne przez liczbę całkowitą.

Pokażę następnie jak w jednym z zadań rozpisać sumę pięciu kolejnych liczb całkowitych i wykażę, że jest ona podzielna przez 5.

W następnym zadaniu pokażę w jaki sposób zapisać liczbę parzystą 

i nieparzystą przy pomocy symboli literowych. Następnie zapiszę różnicę kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych i wykażę, że jest ona podzielna przez 8.

 

W tym nagraniu pokażę jak postępować w przypadku wyrażeń w którym występują potęgi.

W pierwszym zadaniu doprowadzę wszystkie potęgi do wspólnej podstawy, a następnie wyciągnę największy wspólny czynnik przed nawias. 

W kolejnym zadaniu wyjaśnię jaki jest następny krok w sytuacjach, w których wyłączenie przed nawias największego wspólnego czynnika nie kończy bezpośrednio dowodu podzielności.

 

W tym odcinku pokażę w jaki sposób zapisać informację o tym, że dane wyrażenie przy dzieleniu przez liczbę całkowitą daje konkretną resztę.

Pokażę to wpierw na konkretnych przykładach liczbowych, a następnie użyję zapisu na literach. Po takim wstępie teoretycznym przeprowadzę przykładowy dowód krok po kroku, w którym pokażę jak zastosować te informacje w praktyce.

W tym odcinku przeprowadzę dwa dowody.

W pierwszym z nich pokażę, że kwadrat sumy dwóch liczb całkowitych różniących się o 11 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Zapiszę wpierw dwie liczby różniące się o 11 za pomocą symboli literowych, a następne krok po kroku omówię przekształcenia potrzebne w tym dowodzie.

W drugim dowodzie zapiszę najpierw informację o tym, że liczby a i b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio 1 i 4. Następnie zapiszę różnicę kwadratów liczb a i b oraz udowodnię, że różnica ta jest podzielna przez 5.

 

Wymagania
  • Znajomość i umiejętność praktycznego zastosowania podstawowych działań na wyrażeniach algebraicznych.
Opis kursu

Jest to kurs przeznaczony dla uczniów szkoły średniej z poziomu podstawowego, którzy mają przed sobą egzamin maturalny.

Kurs ten ma na celu nauczyć Was dowodzenia twierdzeń - jest to bardzo ciężkie zagadnienie dla sporej ilości uczniów. Co roku na maturze pojawiają się zadania na dowodzenie i większość uczniów je od razu pomija, gdyż nie mają pomysłu jak zabrać się za tego typu zadanie. 

W pierwszych trzech odcinkach wyjaśnię czym są oraz w jaki sposób korzystać ze wzorów skróconego mnożenia, a także powiem czym są równania i nierówności równoważne. Następnie wyjaśnię, krok po kroku,  w jaki sposób przeprowadzić dowody nierówności i równań. Omówię z czego składa się twierdzenie oraz jak rozpoznać założenie i tezę w twierdzeniu. 

Kiedy będziemy mieli za sobą wstęp, przeprowadzę w sumie 19 dowodów o zróżnicowanym stopniu trudności - na początku zajmę się dowodzeniem nierówności i równań. W kolejnych odcinkach pokażę w jaki sposób wykazywać, że dane wyrażenie jest podzielne przez liczbę całkowitą. W ostatnich dwóch odcinkach kursu pokażę w jaki sposób zapisać informację o tym, że dana liczba przy dzieleniu przez inną liczbę daje konkretną resztę oraz pokażę na przykładzie trzech zadań jak przeprowadzać tego typu dowody. 

 


Oceny i recenzje uczniów

Aby dodać opinię, musisz być zalogowany.

Zaloguj się
    Loading...
    Kurs video: Dowodzenie twierdzeń - poziom podstawowy

    Darmowy

    • 13 filmów
    • ponad 199 min materiału wideo
    • bez ograniczeń czasowych
    • dostęp 24/7 przez stronę
    • obsługa urządzeń mobilnych
    • Autor kursu:
      Piotr Dejnek
    • Ostatnia aktualizacja:
      15 maja 2020