Środki ciężkości figur płaskich

W tym filmie wyjaśnię pojęcie środka ciężkości. Pokaże pokrewieństwo i różnice pomiędzy pojęciami środek ciężkości i środek masy.

Na przykładach z otaczającego nas świata, wyjaśnię jak, w jaki sposób możemy interpretować położenie środka ciężkości ciała.

Omówię zastosowanie środka ciężkości i środka masy w opisie ruchu ciał. Wszystkie definicje będę popierał prostymi przykładami z otaczającej nas rzeczywistości.

W tym filmie omówię lokalizację środka ciężkości w podstawowych figurach prostych takich jak: prostokąt, trójkąt, koło, połowa koła i ćwiartka koła.

W każdej z ww. figur wymiaruje lokalizację środka ciężkości. To zestawienie figur płaskich będzie nam niezbędne przy poszukiwaniu położenia środka ciężkości w  przekrojach złożoncyh.

W tym filmie zajmiemy się znalezieniem położenia środka ciężkości w figurze płaskiej złożonej z prostokąta i trójkąta.

Zaczniemy od przyjęcia układu współrzędnych, w którym będziemy działać. Następnie podzielimy przekrój złożony na figury proste. W środku ciężkości każdej z figur prostych narysujemy lokalny układ osi centralnych.

Następnie obliczymy pole powierzchni całego przekroju złożonego. W kolejnym kroku wyznaczymy statyczne momenty bezwładności względem każdej osi układu współrzędnych.

Obliczone wartości stawiamy do wzoru na współrzędne środka ciężkości i wyznaczamy te współrzędne. Na rysunku oznaczamy punkt, który zlokalizowany jest w środku ciężkości figury złożonej.

Rysujemy dwie osie centralne, przechodzące przez środek ciężkości oraz wymiarujemy ich położenie w przekroju.

Aby sprawdzić poprawność uzyskanych wyników, używamy programu AutoCad. Rysujemy kształt naszej figury, zachowując wszystkie jej wymiary. Następnie przy użyciu komend "region" i "parametry fizyczne" sprawdzamy położenie środka ciężkości przekroju. Wyniki porównujemy z uzyskanymi wcześniej w procedurze obliczeniowej.

Tym razem poszukamy położenia środka ciężkości w figurze płaskiej złożonej z trzech prostokątów. Nasz przekrój ma kształt dwuteownika.

Na wstępie wrysujemy startowy układ współrzędnych. W tym przypadku, nasz dwuteownik posiada pionową oś symetrii.  Dzięki temu nie musimy wyznaczać dwóch współrzędnych środka ciężkości. W przypadku figur symetrycznych wiemy, że środek ciężkości z całą pewności znajduje się na osi symetrii. Po podziale przekroju złożonego na figury proste, w środku ciężkości każdej z figur prostych wstawiamy lokalny układ osi centralnych.

Obliczamy momenty statyczne względem obu osi układu współrzędnych i wyznaczamy pole całego przekroju.

Ze wzoru obliczamy lokalizację środka ciężkości i zaznaczamy jego położenie na rysunku. W ostatnim kroku rysujemy dwie osie przechodzące przez środek ciężkości. Takie osie nazywamy osiami centralnymi.

Wykonujemy sprawdzenie w AutoCad.

W tym filmie znajdziemy położenie środka ciężkości przekroju z otworem. Przekrój składa się z prostokąta, kwadratu i połowy koła.

Podobnie jak we wcześniejszych przykładach przyjmiemy na początku układ współrzędnych oraz podzielimy przekrój na figury proste.

Różnica w postępowaniu wystąpi na etapie obliczania pola powierzchni przekroju oraz momentów statycznych. 

W kolejnym kroku obliczeniowym ze wzoru wyznaczymy współrzędne środka ciężkości oraz wrysujemy osie centralne przechodzące przez punkt środka ciężkości.

Poprawność wyników zweryfikujemy w programie AutoCad.

Tym razem wyznaczymy położenie środka ciężkości w przekroju o kształcie kątownika nierównoramiennego. Jest to przykład figury złożonej, w której środek ciężkości leży poza przekrojem.

Procedura wyznaczania położenia środka ciężkości jest dokładnie taka sama jak w pozostałych przypadkach. Wybieramy układ współrzędnych, którym będziemy działać.

Dzielimy przekrój złożony na figury proste, dla których lokalizacja środka ciężkości jest nam znana. W środkach ciężkości tych figur wstawiamy lokalne układy osi centralnych. 

Obliczamy pole powierzchni przekroju oraz momenty statyczne względem poszczególnych osi układu współrzędnych.

Po podstawieniu uzyskanych danych do wzoru otrzymujemy współrzędne środka ciężkości. Następnie rysujemy układ osi centralnych dla przekroju złożonego, którego początek znajduje się w środku ciężkości przekroju.

Wyniki weryfikujemy przy pomocy programu AutoCad.

Najbardziej skomplikowany przykład figury złożonej w całym kursie, dla której znajdziemy współrzędne położenia środka ciężkości. 

Przyjmujemy startowy układ współrzędnych. Następnie podzielimy przekrój złożony na figury proste. W środku ciężkości każdej z figur przyjmujemy lokalny układ osi centralnych.

W kolejnym kroku obliczamy pole powierzchni przekroju oraz wyznaczymy statyczne momenty bezwładności względem każdej osi układu współrzędnych.

 Ze wzoru na współrzędne środka ciężkości i wyznaczamy ich wartości liczbowe. Na rysunku zaznaczamy środek ciężkości figury złożonej.

Rysujemy dwie osie centralne, przechodzące przez środek ciężkości oraz wymiarujemy ich położenie w przekroju.

Używamy programu AutoCad do sprawdzenia poprawności obliczeń.

W ostatnim odcinku kursu pokaże Wam, jak wykorzystując symetrie przekrojów, bez obliczeń analitycznych wyznaczyć położenie środka ciężkości.