Z czego wynika i jak stosować Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego - wprowadzenie

Równanie Bernoulliego  (r.B.) jest jednym z podstawowych narzędzi stosowanych w mechanice płynów. Wykorzystujemy je przy obliczeniach układów przepływowych w postaci rurociągów, kanałów czy też maszyn przepływowych. Jego uniwersalność wynika z faktu, że w bardzo wielu przypadkach stanowi ono wyrażenie zasady zachowania energii .   W przypadku przepływu nieściśliwego w jednorodnym polu grawitacyjnym, bez strat hydraulicznych oraz dodatkowych źródeł ciśnienia, przyjmuje ono postać:

\(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z=const.\) ,

gdzie:

 -  \(p\) - ciśnienie przepływu [Pa] (paskal),

 -  \({\rho}\) to gęstość,  [ \({kg/m^3}\) ],

 - \(v\)  - prędkość [m/s],

 -  \(g\)  - przyspieszenie ziemskie [ \(m/s^2\) ],

 -  \(z\) - wysokość [m].

Równanie Bernoulliego obowiązuje dla tzw. strugi przepływu tzn. dla trajektorii, po której poruszałaby się nieważka cząstka płynu (np. mały pyłek unoszony przez strumień).

Formy i związek równania Bernoulliego z zasadą zachowania energii

Zwróćmy uwagę, że powyższa forma równania jest wyrażona w metrach. W znakomitej większości przypadków wielkości   \({\rho}\)  oraz   \(g\)  mają stałą wartość , więc można pomnożyć równania Bernoulliego przez każdąz nich z osobna. W ten sposób dostajemy alternatywne formy r. B., wyrażoną czy to w  \({m^2} \over {s^2}\) :

  \(\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz=const.\) ,

czy też w paskalach:

  \(p+\frac{\rho v^2}{2}+\rho gz=const.\)

Ta ostatnia forma uwidacznia bardzo bliski związek r. B. z równaniem zachowania energii, ponieważ człon z kwadratem prędkości do złudzenia przypomina ten na energię kinetyczną,  \({m v^2} \over {2}\)  a człon ostatni jest odpowiednikiem energii potencjalnej,  \(mgh\) . Tutaj też nasuwa się pewna interpretacja ciśnienia jako odpowiednika energii wewnętrznej przepływu (na wzór ściśniętej sprężyny, której ściśnięcia nie widać), czyli możliwości wykonania pewnej pracy. I tak jest w istocie, gdyż im większe ciśnienia, tym wyżej możemy wpompować wodę (zamiana ciśnienia na energię potencjalną) albo też z tym większą siłą strumienia możemy oddziaływać na przeszkodę.

Stosowanie równania Bernoulliego - przykład

R B. Najczęściej zapisujemy między różnymi punktami przepływu w celu określenia parametrów nieznanych w tych punktach, np. ciśnienia w jednym punkcie rurociągu w oparciu o znajomość ciśnienia w innym punkcie oraz innych parametrów przepływu. W poniższym przykładzie posłużymy się akurat wydatkiem objętościowym i średnicą rur.

Na Rysunku 1 przedstawiono rurociąg, w którym znamy wydatek, wymiary geometryczne (średnice i wzniesienia segmentów) oraz ciśnienie w punkcie 1,  \(p_1\) . Naszym celem jesy wyznaczenie ciśnienia w punkcie 2,   \(p_2\) . 

Jeśli chcemy określić ciśnienie w punkcie 2, to zapisujemy r. B. dla strugi płynącej na odcinku 1-2:

\(\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+H_1= \frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}\) .

Zwróćmy uwagę, że za poziom odniezienia z=0 przyjęliśmy poziom segmentu 2, więc  \(z_2=0\) .

Przekształcamy powyższy wzór tak, by wyznaczyć  \(p_2\) :

  \(p_2=p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2-\frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g H_1\) .

Do wyliczenia zadania brakuje nam prędkości. Szczęśliwie, prędkość w obu punktach są wyznaczane przy użyciu równania ciągłości (zasady zachowania wydatku):

\(Q=v_1 \frac{\pi d_1^2}{4} = v_2 \frac{\pi d_2^2}{4}\) .

W ten sposób określamy prędkości w każdym z punktów w zależności od wydatku:

\(v_1 = \frac{4Q}{\pi d_1^2}\) ,

\(v_2 = \frac{4Q}{\pi d_2^2}\) .

Korzystając w r.B. oraz właśnie równania ciągłości dostajemy końcowy wzór na ciśnienie w punkcie 2:

  \(p_2=p_1+8\rho {\left(\frac{Q}{\pi d_1^2}\right)}^2-8\rho {\left(\frac{Q}{\pi d_2^2}\right)}^2 + \rho g H_1\) .

Identyczne rozumowanie możemy powtórzyć w celu wyliczenia ciśnienia w punkcie 3.

Paradoks hydrodynamiczny

Zwróćmy ponadto uwagę, że  \(d_2<d_1\) . Wobec tego prędkość w punkcie 2 jest większa od tej w punkcie 1,  \(v_2>v_1\) . Zakładając, że poziomy obu rurociągów byłyby takie same, wówczas okazałoby się, że ciśnienie w punkcie 2, tzn. w cieńszej rurce, okauje się mniejsze niż w rurce szerszej. Jest to wynik paradoksalny (często się myśli, że płyn "się bardziej ściska" w wąskich rurkach) i nazywa się własnie paradoksem hydrodynamicznym . 

To zjawisko tłumaczy się natomiast faktem, że płyn w celu zwiększenia swojej prędkości musi zmniejszyć swoje ciśnienie. W pewnym sensie, energia wewnętrzna płynu musi być zamieniona na energię kinetyczną.

Uogólnione założenia dla równania Bernoulliego

W większości przypadków stosujemy równanie Bernoulliego dla przepływów nieściśliwych (tzn. o stałej gęstości wzdłuż strugi) w jednorodnym polu grawitacyjnym. Warto jednak nadmienić, że można wyprowadzić r B. również dla przepływów ściśliwych oraz dla innych pól siłowych. Nie zagłebiajac się w szczegóły, najogólniejsza forma r.B. przybiera postać:

  \(P(\rho)+\frac{v^2}{2}-\Phi=const.\) ,

gdzie  \(P(\rho)\)  to tzw. potencjał ciśnienia a  \(\Phi\) jest potencjałem pola siłowego. Ten pierwszy można zapisać dla płynu ściśliwego pod warunkiem istnienia jednoznacznej zależności między ciśnieniem a gęstością (mamy wówczas do czynienia z płynem barotropowym ). Potencjał pola sił naturalnie można zapisać tylko dla pół siłowych o charakterze potencjalnym .

Praktycznym zastosowaniem tej formy r.B. jest np. określanie parametrów przepływu w atmosferze o równowadze obojętnej albo w stanie izotermicznym dla gazu doskonałego.

Podsumowanie

W tym artykule po krótce przedstawiłem podstawową formę r.B. oraz przykład stosowania równania dla rurociągu. Oczywiście, nie poruszyliśmy wielu innych aspektów, na które należy zwrócić uwagę w tym temacie, choćby uwzględnianie pomp oraz sposób obliczeń strat hydraulicznych.

Po rozszerzone wytłumaczenie równania Bernoulliego odsyłam do otwartego kursu z mechaniki płynów (część 3) a kilka popularnych zadań jest omawiane w tym kursie .

Tymczasem zapraszam do nauki i kursów.  W razie jakbyście mieli dodatkowe pytania, do kontaktu za pośrednictwem portalu.