Udostępnij:

Mechanika

Wzory na momenty bezwładności i momenty dewiacji figur płaskich

Przedstawienie i omówienie wzorów na momenty bezwładności i momenty dewiacji podstawowych figur płaskich

W tym wpisie przedstawię Wam wzory na momenty bezwładności podstawowych figur płaskich . Wyjaśnię również jak stosować wzory w procedurze obliczania momentu bezwładności przekroju złożonego.

Pierwszą figurą płaską, jaką omówimy, będzie prostokąt o wymiarach boków b i h.

Wzór na momenty bezwładności i moment dewiacji w prostokącie
Rys. 1 Wzór na momenty bezwładności i moment dewiacji w prostokącie 

W prostokącie na rysunku nr 1 zaznaczyliśmy osie główne, centralne przechodzące przez środek ciężkości przekroju . W przypadku prostokąta środek ciężkości zlokalizowany jest na przecięciu się przekątnych, a więc w połowie długości każdego z boków.

W liczniku wzoru, na momenty bezwładności prostokąta i trójkąta, wymiar boku równoległego do osi, względem której obliczamy moment bezwładności, jest zawsze podniesiony do potęgi pierwszej. Wymiar boku prostopadłego do osi, względem której obliczamy moment bezwładności, jest zawsze podniesiony do potęgi trzeciej.

Moment dewiacji nazywany też czasami momentem odśrodkowym , w przypadku prostokąta zawsze jest równy zero.

Szczególnym przypadkiem przekroju prostokątnego jest przekrój kwadratowy.

Momenty bezwładności i moment dewiacji w przekroju kwadratowym
Rys. 2 Momenty bezwładności i moment dewiacji w przekroju kwadratowym

W kwadracie boki są sobie równe, stąd w liczniku wzoru na momenty bezwładności  wymiar boku kwadratu jest podniesiony do potęgi czwartej.

Kolejnymi figurami prostymi, którymi się zajmiemy, będzie trójkąt prostokątny i trójkąt równoramienny lub równoboczny.

Wzór na momenty bezwładności i moment dewiacji w trójkącie
Rys. 3 Wzór na momenty bezwładności i moment dewiacji w trójkącie

Zasady korzystania ze wzoru na moment bezwładności w trójkącie prostokątnym i trójkącie równoramiennym są takie same jak w przypadku prostokąta. Wymiar boku równoległego do osi, względem której liczmy moment bezwładności w potędze pierwszej, wymiar boku prostopadłego w potędze trzeciej.

W trójkącie równoramiennym lub równobocznym wzór na moment bezwładności liczony względem osi centralnej, która jest jednocześnie osią symetrii trójkąta, posiada w mianowniku dzielnik o wartości 48.

W przypadku trójkąta prostokątnego moment dewiacji nie jest już równy zero. Ważnym elementem wzoru jest odpowiedni znak przed wzorem. 

Załóżmy, że mamy do czynienia z przekrojem złożonym z kilku figur prostych w tym jedną z nich jest trójkąt prostokątny. Mamy wyznaczone położenie środka ciężkości i osi centralnych całego przekroju.

Znak przed wzorem na moment dewiacji (moment odśrodkowy) dla trójkąta prostokątnego zależy od tego, w której ćwiartce centralnego układu współrzędnych dla całego przekroju, jest położony środek ciężkości figury prostej - trójkąta prostokątnego.

Przykładowa sytuacja na rysunku poniżej:

Znakowanie momentu dewiacji (momentu odśrodkowego) w trójkącie
Rys. 4 Znakowanie momentu dewiacji (momentu odśrodkowego) w trójkącie

Na rysunku powyżej zapisałem wzór na moment dewiacji trójkąta (figura nr 4) względem jego środka ciężkości O4.

Moment dewiacji zawsze obliczamy względem punktu środka ciężkości przekroju, nie względem osi jak miało to miejsce w przypadku momentu bezwładności.

W przypadku pokazanym na Rys. 4 moment dewiacji jest ujemny, ponieważ środek ciężkości trójkąta nr 4 położony jest w czwartej ćwiartce układu osi centralnych dla całego przekroju.

Wzory na momenty bezwładności koła, półkola i ćwiartki koła
Rys. 5 Wzory na momenty bezwładności koła, półkola i ćwiartki koła

Na rysunku nr 5 pokazałem wzory na momenty bezwładności i momenty dewiacji ( momenty odśrodkowe ) w kole, półkolu i ćwiartce koła. W przypadku półkola i ćwiartki koła mamy dwie wersje wzorów na momenty bezwładności, dokładną i przybliżoną. Jeśli zastosujemy wersję przybliżoną, wynik dla całego przekroju złożonego będzie w nieznacznym stopniu odbiegał od wyniku sprawdzonego np. za pośrednictwem programu AutoCad.

Jeśli chcesz dowiedzieć się, jak sprawdzić, czy uzyskane z obliczeń wartość momentów bezwładności i momentów dewiacji są poprawne, kliknij tutaj.