Wyznaczanie położenia środka ciężkości przekroju dwuteowego - Blog | DobryKorepetytor

Udostępnij:

Mechanika

Wyznaczanie położenia środka ciężkości przekroju dwuteowego

Jak szybko obliczyć współrzędne środka ciężkości figury płaskiej.

W tym wpisie pokażę Wam, jak szybko wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej. Następnie, po wyznaczeniu współrzędnych środka ciężkości wrysujemy osie centralne przekroju. 

Mamy dany przekrój dwuteownika jak na rysunku nr 1. Naszym zadaniem jest wyznaczyć położenie środka ciężkości zadanego przekroju.

Przekrój dwuteowy - wyznaczanie położenie środka ciężkości
Rys. 1 Przekrój dwuteowy - wyznaczanie położenie środka ciężkości

W pierwszym kroku musimy podzielić nasz dwuteownik na figury proste, dla których znamy położenie środka ciężkości. W tym przypadku podzielimy figurę płaską na 3 prostokąty, dla których bez obliczeń możemy wyznaczyć położenie ich środków ciężkości.

Podział przekroju złożonego na figury proste
Rys. 2 Podział przekroju złożonego na figury proste

Następnie w środku ciężkości każdej z figur prostych zaznaczę lokalny układ osi centralnych, czyli przechodzących przez środek ciężkości każdej z tych figur. Każdą z osi centralnych nazwę odpowiednio dla każdej z figur używając indeksu "0" i numeru figury.

Wrysowanie lokalnych układów osi centralnych
Rys. 3 Wrysowanie lokalnych układów osi centralnych

Następnie zapiszę wzór na współrzędne środka ciężkości przekroju płaskiego.

Wzór na położenie środka ciężkości figury płaskiej
Rys. 4 Wzór na położenie środka ciężkości figury płaskiej

Poprzez symbol O* oznaczyłem punkt, który będzie definiował położenie środka ciężkości naszego przekroju. Xs i Ys to współrzędne środka ciężkości w startowym układzie współrzędnych, który w następnym kroku przyjmiemy.

Sy - jest to to statyczny moment bezwładności liczony względem osi Y.

Sx - jest to statyczny moment bezwładności liczony względem osi X.

Ac - jest to pole całego przekroju.

Następnie przyjmujemy startowy układ współrzędnych, w którym będziemy szukać położenie środka ciężkości figury.

Przyjęcie układu osi startowych
Rys. 5 Przyjęcie układu osi startowych

Aby ułatwić sobie procedurę obliczeniową, układ współrzędnych startowych należy przyjąć w taki sposób, aby cała figura znajdowała się w jego pierwszej ćwiartce. Dlatego oś X przyjąłem u podstawy naszego przekroju dwuteowego.

W tym przypadku należy zauważyć, że nasz przekrój jest symetryczny (posiada jedną oś symetrii). W takim przypadku jest pewne, że środek ciężkości będzie leżał na osi symetrii, w naszym przypadku osi Yo.

Jeśli przekrój posiada oś symetrii to środek ciężkości z całą pewnością jest położony na tej osi. W takim przypadku szukamy wyłącznie jednej współrzędnej środka ciężkości.

Skoro wiemy, że środek ciężkości z całą pewnością leży na osi Yo to jego współrzędna Xs jest równa zero. Pozostało nam znaleźć współrzędną Ys.

Środek ciężkości przekroju symetrycznego
Rys. 5 Środek ciężkości przekroju symetrycznego

Aby znaleźć współrzędną Ys środka ciężkości dwuteownika, musimy obliczyć statyczny moment bezwładności względem X, czyli Sx.

Statyczny moment bezwładność obliczamy jako iloczyn pola powierzchni figury i współrzędnej środka ciężkości w przyjętym układzie współrzędnych.

W tym przypadku, obliczając statyczny moment bezwładności względem osi X, będziemy mnożyć pola poszczególnych figur składowych oznaczonych numerami od 1 do 3 przez współrzędne ich środków ciężkości odmierzane wzdłuż osi Y.

Obliczenie statycznego momentu bezwładności
Rys. 6 Obliczenie statycznego momentu bezwładności
Obliczając statyczny moment bezwładności, nie mnożymy pola powierzchni przez odległość środka ciężkości poszczególnych figur od osi, względem której obliczamy statyczny moment bezwładności. Odległość nie może być ujemna, a współrzędna tak.

Obliczając statyczny moment bezwładności, zawsze mnożymy pole poszczególnej figury przez współrzędną jej środka ciężkości w przyjętym układzie.

Jeśli obliczamy statyczny moment bezwładności względem osi X, to pola poszczególnych figur składowych mnożymy przez współrzędne ich środków ciężkości odmierzane wzdłuż osi Y. 
Jeśli obliczamy statyczny moment bezwładności względem osi Y, to pola poszczególnych figur składowych mnożymy przez współrzędne ich środków ciężkości odmierzane wzdłuż osi X. 

Mając obliczony statyczny moment bezwładności,  obliczamy pole powierzchni całego przekroju, sumując pola powierzchni poszczególnych figur składowych.

Pole całkowite przekroju dwuteowego
Rys. 7 Pole całkowite przekroju dwuteowego

Po obliczeniu pola całego przekroju mamy już wszystkie dane niezbędne do obliczenia brakującej współrzędnej środka ciężkości przekroju. Wstawiamy wartości do wzoru na współrzędną Ys środka ciężkości i obliczamy jej wartość.

Obliczenie współrzędnej środka ciężkości dwuteownika
Rys. 8 Obliczenie współrzędnej środka ciężkości dwuteownika

Mamy już obie współrzędne środka ciężkości naszego dwuteownika, a co za tym idzie, możemy zaznaczyć jego lokalizację w przekroju. Przez punkt wyznaczający położenie środka ciężkości przeprowadzimy oś centralną Xo.

Rysowanie osi głównych centralnych w dwuteowniku
Rys. 9 Rysowanie osi głównych centralnych w dwuteowniku

W taki sposób, wykorzystując fakt symetrii przekroju, obliczyliśmy współrzędne środka ciężkości przekroju i wrysowaliśmy osie główne centralne.