Proste równoległe i prostopadłe - zadania maturalne z geometrii analitycznej - Blog | DobryKorepetytor
-30% na kolejny zakup! Dodaj opinię do kursu, a kupon rabatowy otrzymasz na maila! Do końca:

Udostępnij:

Matematyka

Proste równoległe i prostopadłe - zadania maturalne z geometrii analitycznej

W tym wpisie wytłumaczę w jaki sposób rozwiązywać najbardziej typowe zadania z matury podstawowej dotyczące prostych równoległych i prostopadłych.
Kiedy dwie proste są równoległe?

Mamy dane dwa równania dwóch funkcji liniowych w postaci kierunkowej (czyli dwóch prostych):

\(y=a_{1}x+b_{1}\)

\(y=a_{2}x+b_{2}\)

Aby dwie proste były do siebie równoległe, ich współczynniki kierunkowe muszą być sobie równe tzn. musi zachodzić równość \(a_{1}=a_{2}\).  Przykładowo: proste o równaniach \(y=2x+1 \) oraz \(y=2x+8\) są prostymi równoległymi, ponieważ w przypadku obu równań współczynnik kierunkowy wynosi 2. 

Zauważmy, że współczynnik \(b_{1}=1\), z kolei współczynnik \(b_{2}=8\), zatem są one różne. Jednak nie ma to żadnego znaczenia. Warunek na równoległość prostych mówi jedynie o tym, że wartości współczynników kierunkowych muszą być sobie równe i NIC WIĘCEJ. Zatem wartości współczynników "b" mogą być dowolne. 
Jeżeli chcesz wiedzieć co to jest funkcja liniowa oraz współczynnik kierunkowy, kliknij tutaj.
 Rys.1 Wykresy dwóch prostych równoległych
Rys.1 Wykresy dwóch prostych równoległych
Kiedy dwie proste są prostopadłe?

Aby dwie proste o równaniach \(y=a_{1}x+b_{1}\) oraz \(y=a_{2}x+b_{2}\) były do siebie prostopadłe, iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), czyli musi być spełniony warunek \(a_{1}\cdot a_{2}=-1\). Przykładowo: proste o równaniach \(y=2x+1\) i \(y=-\frac{1}{2}x+7\) są do siebie prostopadłe, ponieważ możemy odczytać z tych równań, iż \(a_{1}=2\) oraz \(a_{2}=-\frac{1}{2}\). Gdy wymnożymy przez siebie współczynniki kierunkowe, to otrzymamy: \(a_{1}\cdot a_{2}=2\cdot (-\frac{1}{2})=-1\), stąd wnioskujemy, że te dwie proste są do siebie prostopadłe. Analogicznie jak w przypadku prostych równoległych - wartości współczynników \(b\) nie mają tutaj żadnego znaczenia.  

Obrazuje to poniższy rysunek: 

Wykresy dwóch prostych prostopadłych
Rys.2 Wykresy dwóch prostych prostopadłych
Jeżeli chcesz wiedzieć w jaki sposób szybko narysować wykres funkcji liniowej bez żadnych obliczeń i sporządzania tabelek, kliknij tutaj.
 Zadania maturalne z prostych równoległych i prostopadłych

Rozwiążmy teraz zadania maturalne związane z prostymi równoległymi i prostopadłymi, a konkretnie zadania z parametrem. Na pierwszy ogień weźmy zadanie 19 z matury podstawowej z maja 2018: 

Zadanie 19. Proste o równaniach \(y=(m+2)x+3\) oraz \(y=(2m-1)x-3\) są równoległe, gdy: 

A. \(m=2\)                         B. \(m=3\)                         C. \(m=0\)                         D. \(m=1\)

Wiemy już, że dwie proste są do siebie równoległe, gdy spełniony jest warunek \(a_{1}=a_{2}\), zatem pierwszą rzeczą jaką musimy zrobić to ustalenie ile wynoszą współczynniki kierunkowe w przypadku obu podanych funkcji liniowych. We wzorze funkcji liniowej, współczynnik kierunkowy "\(a\)" stoi zawsze przy zmiennej "\(x\)" - czyli bierzemy sobie zawsze to co stoi przy "iksie" (lub ściślej mówiąc, bierzemy sobie to, co jest przemnożone przez "iksa".) Łatwo zauważyć, że przy "iksie" stoi \(m+2\) w przypadku pierwszej prostej, natomiast w przypadku drugiej prostej przy "iksie" stoi \(2m-1\).

Wartości współczynników kierunkowych obu prostych
Rys. 3 Wartości współczynników kierunkowych obu prostych

Korzystamy teraz z warunku na równoległość dwóch prostych \(a_{1}=a_{2}\), podstawiając odczytanie współczynniki kierunkowe otrzymujemy równanie: 

Przyrównujemy współczynniki kierunkowe
Rys. 4 Przyrównujemy współczynniki kierunkowe

Następnie wystarczy rozwiązać proste równanie, czyli przenosimy wyrażenia z niewiadomą "\(m\)" na lewo, a liczby na prawo:

Rozwiązujemy równanie z niewiadomą "m"
Rys. 5 Rozwiązujemy równanie z niewiadomą "m"

Rozwiązaniem tego równania jest \(m=3\), zatem te dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy \(m=3\). W związku z tym poprawną odpowiedzią jest oczywiście odpowiedź B.

Weżmy teraz pod lupę zadanie 19 z matury podstawowej z maja 2015:

Zadanie 19. Proste o równaniach \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla

A. \(m=-\frac{1}{2}\)                         B. \(m=\frac{1}{2}\)                         C. \(m=1\)                         D. \(m=2\)

Analogicznie - wiemy już, że dwie proste są do siebie prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek \(a_{1}\cdot a_{2}=-1\). Tak jak wcześniej - na początek ustalamy ile wynoszą współczynniki kierunkowe - bez większego trudu odczytujemy, że \(a_{1}=2m\) i \(a_{2}=4m^2\). Oczywiście tak jak zostało to wcześniej wspomniane we wstępie - wartości współczynników \(b\) nie mają absolutnie żadnego znaczenia. Zatem nie przejmujemy się w ogóle wyrażeniami  \(-m^2-1\)    z pierwszego równania oraz \(m^2+1\) z drugiego równania. 

Rys. 6 Odczytujemy współczynniki kierunkowe prostych
Rys. 6 Odczytujemy współczynniki kierunkowe prostych

Następnie tworzymy równanie podstawiając odczytane wartości \(a_{1}\) i \(a_{2}\), po czym rozwiązujemy to równanie tak jak na zdjęciu poniżej: 

Rys. 7 Rozwiązujemy proste równanie trzeciego stopnia
Rys. 7 Rozwiązujemy proste równanie trzeciego stopnia

Jeżeli chodzi o pierwiastek trzeciego stopnia z ułamka \(-\frac{1}{8}\), to wystarczy się po prostu zastanawowić, jaka liczba podniesiona do potęgi trzeciej da nam ułamek \(-\frac{1}{8}\). Jest to oczywiście \(-\frac{1}{2}\), ponieważ \(1^3=1\) oraz \(2^3=8\), a skoro mamy otrzymać liczbę ujemną to przed ułamek \(\frac{1}{2}\) trzeba dopisać znak minus. Widzimy zatem, że poprawną odpowiedzią w tym zadaniu jest odpowiedź A.