Proste równoległe i prostopadłe - zadania maturalne z geometrii analitycznej

Kiedy dwie proste są równoległe?

 

Mamy dane dwa równania dwóch funkcji liniowych w postaci kierunkowej (czyli dwóch prostych):

\(y=a_{1}x+b_{1}\)

\(y=a_{2}x+b_{2}\)

Aby dwie proste były do siebie równoległe, ich  współczynniki kierunkowe  muszą być sobie równe tzn. musi zachodzić równość \(a_{1}=a_{2}\).  Przykładowo: proste o równaniach \(y=2x+1 \) oraz \(y=2x+8\) są prostymi równoległymi, ponieważ w przypadku obu równań współczynnik kierunkowy wynosi 2. 

Jeżeli chcesz wiedzieć co to jest funkcja liniowa oraz współczynnik kierunkowy, kliknij  tutaj .

 

Kiedy dwie proste są prostopadłe?

 

Aby dwie proste o równaniach \(y=a_{1}x+b_{1}\) oraz \(y=a_{2}x+b_{2}\) były do siebie prostopadłe, iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), czyli musi być spełniony warunek \(a_{1}\cdot a_{2}=-1\). Przykładowo: proste o równaniach \(y=2x+1\) i \(y=-\frac{1}{2}x+7\) są do siebie prostopadłe, ponieważ możemy odczytać z tych równań, iż \(a_{1}=2\) oraz \(a_{2}=-\frac{1}{2}\). Gdy wymnożymy przez siebie współczynniki kierunkowe, to otrzymamy: \(a_{1}\cdot a_{2}=2\cdot (-\frac{1}{2})=-1\), stąd wnioskujemy, że te dwie proste są do siebie prostopadłe. Analogicznie jak w przypadku prostych równoległych - wartości współczynników \(b\) nie mają tutaj żadnego znaczenia .  

Obrazuje to poniższy rysunek: 

 

Jeżeli chcesz wiedzieć w jaki sposób szybko narysować wykres funkcji liniowej bez żadnych obliczeń i sporządzania tabelek, kliknij  tutaj .

 Zadania maturalne z prostych równoległych i prostopadłych

 

Rozwiążmy teraz zadania maturalne związane z prostymi równoległymi i prostopadłymi, a konkretnie zadania z parametrem. Na pierwszy ogień weźmy zadanie 19 z matury podstawowej z maja 2018: 

Zadanie 19. Proste o równaniach \(y=(m+2)x+3\) oraz \(y=(2m-1)x-3\) są równoległe, gdy: 

A. \(m=2\)                         B. \(m=3\)                         C. \(m=0\)                         D. \(m=1\)

Wiemy już, że dwie proste są do siebie równoległe, gdy spełniony jest warunek \(a_{1}=a_{2}\) , zatem pierwszą rzeczą jaką musimy zrobić to ustalenie ile wynoszą współczynniki kierunkowe w przypadku obu podanych funkcji liniowych. We wzorze funkcji liniowej, współczynnik kierunkowy "\(a\)" stoi zawsze przy zmiennej "\(x\)" - czyli bierzemy sobie zawsze to co stoi przy "iksie" (lub ściślej mówiąc, bierzemy sobie to, co jest przemnożone przez "iksa".) Łatwo zauważyć, że przy "iksie" stoi \(m+2\) w przypadku pierwszej prostej, natomiast w przypadku drugiej prostej przy "iksie" stoi \(2m-1\).

 

 

Korzystamy teraz z warunku na równoległość dwóch prostych \(a_{1}=a_{2}\), podstawiając odczytanie współczynniki kierunkowe otrzymujemy równanie: 

 

Następnie wystarczy rozwiązać proste równanie, czyli przenosimy wyrażenia z niewiadomą "\(m\)" na lewo, a liczby na prawo:

 

Rozwiązaniem tego równania jest \(m=3\), zatem te dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy \(m=3\). W związku z tym poprawną odpowiedzią jest oczywiście odpowiedź B.

 

Weżmy teraz pod lupę zadanie 19 z matury podstawowej z maja 2015:

Zadanie 19. Proste o równaniach \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla

A. \(m=-\frac{1}{2}\)                         B. \(m=\frac{1}{2}\)                         C. \(m=1\)                         D. \(m=2\)

 

Analogicznie - wiemy już, że dwie proste są do siebie prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek  \(a_{1}\cdot a_{2}=-1\). Tak jak wcześniej - na początek ustalamy ile wynoszą współczynniki kierunkowe - bez większego trudu odczytujemy, że \(a_{1}=2m\) i \(a_{2}=4m^2\). Oczywiście tak jak zostało to wcześniej wspomniane we wstępie - wartości współczynników \(b\) nie mają absolutnie żadnego znaczenia.  Zatem nie przejmujemy się w ogóle wyrażeniami  \(-m^2-1\)    z pierwszego równania oraz \(m^2+1\) z drugiego równania. 

 

 

Następnie tworzymy równanie podstawiając odczytane wartości \(a_{1}\) i \(a_{2}\), po czym rozwiązujemy to równanie tak jak na zdjęciu poniżej: 

 

 

Jeżeli chodzi o pierwiastek trzeciego stopnia z ułamka \(-\frac{1}{8}\), to wystarczy się po prostu zastanawowić, jaka liczba podniesiona do potęgi trzeciej da nam ułamek \(-\frac{1}{8}\). Jest to oczywiście \(-\frac{1}{2}\), ponieważ \(1^3=1\) oraz \(2^3=8\), a skoro mamy otrzymać liczbę ujemną to przed ułamek \(\frac{1}{2}\) trzeba dopisać znak minus. Widzimy zatem, że poprawną odpowiedzią w tym zadaniu jest odpowiedź  A.