Udostępnij:

Matematyka

Proste równoległe i prostopadłe - zadania maturalne z geometrii analitycznej

W tym wpisie wytłumaczę w jaki sposób rozwiązywać najbardziej typowe zadania z matury podstawowej dotyczące prostych równoległych i prostopadłych.

Kiedy dwie proste są równoległe?

 

Mamy dane dwa równania dwóch funkcji liniowych w postaci kierunkowej (czyli dwóch prostych):

\(y=a_{1}x+b_{1}\)

\(y=a_{2}x+b_{2}\)

Aby dwie proste były do siebie równoległe, ich  współczynniki kierunkowe  muszą być sobie równe tzn. musi zachodzić równość  \(a_{1}=a_{2}\) .  Przykładowo: proste o równaniach  \(y=2x+1 \)  oraz  \(y=2x+8\)  są prostymi równoległymi, ponieważ w przypadku obu równań współczynnik kierunkowy wynosi 2. 

Zauważmy, że współczynnik  \(b_{1}=1\) , z kolei współczynnik  \(b_{2}=8\) , zatem są one różne. Jednak  nie ma to żadnego znaczenia . Warunek na równoległość prostych mówi jedynie o tym, że wartości współczynników kierunkowych muszą być sobie równe i NIC WIĘCEJ. Zatem wartości współczynników "b" mogą być dowolne. 
Jeżeli chcesz wiedzieć co to jest funkcja liniowa oraz współczynnik kierunkowy, kliknij  tutaj .
 Rys.1 Wykresy dwóch prostych równoległych
Rys.1 Wykresy dwóch prostych równoległych

 

Kiedy dwie proste są prostopadłe?

 

Aby dwie proste o równaniach  \(y=a_{1}x+b_{1}\)  oraz  \(y=a_{2}x+b_{2}\)  były do siebie prostopadłe, iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy  \(-1\) , czyli musi być spełniony warunek  \(a_{1}\cdot a_{2}=-1\) . Przykładowo: proste o równaniach  \(y=2x+1\)  i  \(y=-\frac{1}{2}x+7\)  są do siebie prostopadłe, ponieważ możemy odczytać z tych równań, iż  \(a_{1}=2\)  oraz  \(a_{2}=-\frac{1}{2}\) . Gdy wymnożymy przez siebie współczynniki kierunkowe, to otrzymamy:  \(a_{1}\cdot a_{2}=2\cdot (-\frac{1}{2})=-1\) , stąd wnioskujemy, że te dwie proste są do siebie prostopadłe. Analogicznie jak w przypadku prostych równoległych - wartości współczynników  \(b\)  nie mają tutaj żadnego znaczenia .  

Obrazuje to poniższy rysunek: 

 

Wykresy dwóch prostych prostopadłych
Rys.2 Wykresy dwóch prostych prostopadłych
Jeżeli chcesz wiedzieć w jaki sposób szybko narysować wykres funkcji liniowej bez żadnych obliczeń i sporządzania tabelek, kliknij  tutaj .
 Zadania maturalne z prostych równoległych i prostopadłych

 

Rozwiążmy teraz zadania maturalne związane z prostymi równoległymi i prostopadłymi, a konkretnie zadania z parametrem. Na pierwszy ogień weźmy zadanie 19 z matury podstawowej z maja 2018: 

Zadanie 19. Proste o równaniach \(y=(m+2)x+3\) oraz \(y=(2m-1)x-3\) są równoległe, gdy: 

A. \(m=2\)                         B. \(m=3\)                         C. \(m=0\)                         D. \(m=1\)

Wiemy już, że dwie proste są do siebie równoległe, gdy spełniony jest warunek  \(a_{1}=a_{2}\) , zatem pierwszą rzeczą jaką musimy zrobić to ustalenie ile wynoszą współczynniki kierunkowe w przypadku obu podanych funkcji liniowych. We wzorze funkcji liniowej, współczynnik kierunkowy " \(a\) " stoi zawsze przy zmiennej " \(x\) " - czyli bierzemy sobie zawsze to co stoi przy "iksie" (lub ściślej mówiąc, bierzemy sobie to, co jest przemnożone przez "iksa".) Łatwo zauważyć, że przy "iksie" stoi  \(m+2\)  w przypadku pierwszej prostej, natomiast w przypadku drugiej prostej przy "iksie" stoi  \(2m-1\) .

 

Wartości współczynników kierunkowych obu prostych
Rys. 3 Wartości współczynników kierunkowych obu prostych

 

Korzystamy teraz z warunku na równoległość dwóch prostych  \(a_{1}=a_{2}\) , podstawiając odczytanie współczynniki kierunkowe otrzymujemy równanie: 

 

Przyrównujemy współczynniki kierunkowe
Rys. 4 Przyrównujemy współczynniki kierunkowe

Następnie wystarczy rozwiązać proste równanie, czyli przenosimy wyrażenia z niewiadomą " \(m\) " na lewo, a liczby na prawo:

Rozwiązujemy równanie z niewiadomą "m"
Rys. 5 Rozwiązujemy równanie z niewiadomą "m"

 

Rozwiązaniem tego równania jest  \(m=3\) , zatem te dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy  \(m=3\) . W związku z tym poprawną odpowiedzią jest oczywiście odpowiedź B.

 

Weżmy teraz pod lupę zadanie 19 z matury podstawowej z maja 2015:

Zadanie 19. Proste o równaniach  \(y=2mx-m^2-1\)  oraz  \(y=4m^2x+m^2+1\)  są prostopadłe dla

A.  \(m=-\frac{1}{2}\)                          B.  \(m=\frac{1}{2}\)                          C.  \(m=1\)                          D.  \(m=2\)

 

Analogicznie - wiemy już, że dwie proste są do siebie prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek  \(a_{1}\cdot a_{2}=-1\) . Tak jak wcześniej - na początek ustalamy ile wynoszą współczynniki kierunkowe - bez większego trudu odczytujemy, że  \(a_{1}=2m\)  i  \(a_{2}=4m^2\) . Oczywiście tak jak zostało to wcześniej wspomniane we wstępie - wartości współczynników  \(b\)  nie mają absolutnie żadnego znaczenia.  Zatem nie przejmujemy się w ogóle wyrażeniami   \(-m^2-1\)     z pierwszego równania oraz  \(m^2+1\)  z drugiego równania. 

 

Rys. 6 Odczytujemy współczynniki kierunkowe prostych
Rys. 6 Odczytujemy współczynniki kierunkowe prostych

 

Następnie tworzymy równanie podstawiając odczytane wartości  \(a_{1}\)  i  \(a_{2}\) , po czym rozwiązujemy to równanie tak jak na zdjęciu poniżej: 

 

Rys. 7 Rozwiązujemy proste równanie trzeciego stopnia
Rys. 7 Rozwiązujemy proste równanie trzeciego stopnia

 

Jeżeli chodzi o pierwiastek trzeciego stopnia z ułamka  \(-\frac{1}{8}\) , to wystarczy się po prostu zastanawowić, jaka liczba podniesiona do potęgi trzeciej da nam ułamek  \(-\frac{1}{8}\) . Jest to oczywiście  \(-\frac{1}{2}\) , ponieważ  \(1^3=1\)  oraz  \(2^3=8\) , a skoro mamy otrzymać liczbę ujemną to przed ułamek  \(\frac{1}{2}\)  trzeba dopisać znak minus. Widzimy zatem, że poprawną odpowiedzią w tym zadaniu jest odpowiedź  A.