W tym wpisie pokażę jak wyznaczyć analityczny opis danej graficznie funkcji oraz wykonać transformatę Laplace'a na prostym przykładzie przedstawionym poniżej.
Do wyznaczenia opisu analitycznego skupiamy się głównie na momentach, w których dana funkcja zmienia swoją wartość. W powyższym przykładzie możemy zauważyć, że w chwili czasowej t=0 następuje pierwsza zmiana do wartości A . Możemy zatem narysować taką funkcję na wykresie oraz dopisać jej opis analityczny.
Należy zaznaczyć, że funkcja, którą mamy daną w zadaniu, to wypadkowa kilku składowych . Powyżej wyznaczyliśmy pierwszą składową f1(t). Jej wzór składa się z dwóch elementów - A jest to wartość do której następuje skok jednostkowy , zaś funkcja 1(t) to właśnie symbol skoku jednostkowego. Ma ona na celu odcięcie wszystkim elementów po lewej stronie od tej wartości. Mała litera t w nawiasie oznacza, że funkcja występuje od zera. W kolejnym przykładzie zauważymy co należy zrobić, jeśli funkcja jest przesunięta w dziedzinie czasu.
Wracając do zadania - w chwili czasowej T występuje zmiana wartości funkcji z A na -A. Pamiętając, że funkcja podana w zadaniu jest wypadkową, musimy od obecnego przebiegu odjąć 2A od chwili T. Zaktualizujmy rysunek 2 o ten przebieg.
Sumując powyższe przebiegi otrzymamy pożądany przebieg funkcji od chwili t=0 do chwili czasowej t=2T . Zanim jednak zaczniemy kolejną modyfikację, zastanówmy się nad zapisem analitycznym drugiej składowej przebiegu.
Analizując pierwszą składową, pierwszy element (A) zamieni się prawdopodobnie na -2A, ponieważ do takiej wartości ma miejsce zmiana wartości. Początek przebiegu od chwili czasowej t=T spowoduje, że będzie trzeba przesunąć funkcję skoku jednostkowego o T w prawą stronę. Zgodnie z zasadami matematyki ze szkoły średniej, przesunięcie przebiegu w osi x w prawą stronę powoduje, że od elementu t należy odjąć chwilę T.
Z matematyki powinniśmy kojarzyć poniższy zapis
Analogicznie do powyższego, matematycznego przykładu, możemy zapisać równanie dla drugiej składowej naszej funkcji. Zapiszemy je bezpośrednio nad tą funkcją, aby zachować ciągłość.
Mając dane dwie funkcje możemy narysować sobie przebieg wypadkowy tych dwóch funkcji.
Porównując powyższy przebieg z przebiegiem z zadania możemy zauważyć, że w chwili t=2T następuje ostatnia zmiana wartości. Aby funkcja wypadkowa wróciła do wartości zerowej, od chwili t=2T należy dodać funkcję o skoku jednostkowym do wartości A. Posługując się dotychczasowymi przykładami i umiejętnościami możemy na jednym przebiegu narysować dodatkową składową, wypadkową oraz opis analityczny trzeciej składowej.
Jak można zauważyć, przebieg wypadkowy pokrywa się z naszą funkcją bazową, a zatem wyznaczyliśmy wszystkie składowe. Rozwiązaniem zatem jest suma tych trzech składowych .
Wykonaliśmy zatem pierwszą część zadania - pozostało nam wykonać transformatę Laplace'a powyższej funkcji.
Przytoczymy w tym celu pewne zależności, które nam w tym pomogą. Pierwsza z nich, to transformata Laplace'a skoku jednostkowego, którą możemy odczytać z tablic - poniżej interesujący nas fragment.
Druga wykorzystywana przez nas zależność, to będzie własność transformaty Laplace'a, dotycząca przesunięcia w dziedzinie rzeczywistej .
Wykorzystując obie powyższe zależności jesteśmy w stanie wyznaczyć transformatę Laplace'a naszej funkcji f(t).
Wyznaczenie powyższego opisu kończy zadanie. Czy jest ono trudne? W pierwszym kontakcie z tymi zagadnieniami, z całą pewnością tak, jednak przy wykonywaniu kolejnych przykładów można dostrzec analogię i robi się je już odruchowo.