Udostępnij:

Automatyka

Opis analityczny funkcji wraz z transformatą Laplace'a

Ten wpis pokaże jak wykonać prosty opis analityczny danej graficznie funkcji oraz wykonać jej transformatę Laplace'a

W tym wpisie pokażę jak wyznaczyć analityczny opis danej graficznie funkcji oraz wykonać transformatę Laplace'a na prostym przykładzie przedstawionym poniżej.

Graficzne przedstawienie danej funkcji
Rys. 1 Graficzne przedstawienie danej funkcji

Do wyznaczenia opisu analitycznego skupiamy się głównie na momentach, w których dana funkcja zmienia swoją wartość. W powyższym przykładzie możemy zauważyć, że w chwili czasowej t=0 następuje pierwsza zmiana do wartości A . Możemy zatem narysować taką funkcję na wykresie oraz dopisać jej opis analityczny.

Przebieg pierwszej funkcji
Rys. 2 Przebieg pierwszej funkcji

Należy zaznaczyć, że funkcja, którą mamy daną w zadaniu, to wypadkowa kilku składowych . Powyżej wyznaczyliśmy pierwszą składową f1(t). Jej wzór składa się z dwóch elementów - A jest to wartość do której następuje skok jednostkowy , zaś funkcja 1(t) to właśnie symbol skoku jednostkowego. Ma ona na celu odcięcie wszystkim elementów po lewej stronie od tej wartości. Mała litera t w nawiasie oznacza, że funkcja występuje od zera. W kolejnym przykładzie zauważymy co należy zrobić, jeśli funkcja jest przesunięta w dziedzinie czasu.

Wracając do zadania - w chwili czasowej T występuje zmiana wartości funkcji z A na -A. Pamiętając, że funkcja podana w zadaniu jest wypadkową, musimy od obecnego przebiegu odjąć 2A od chwili T. Zaktualizujmy rysunek 2 o ten przebieg.

Przebieg drugiej składowej
Rys. 3 Przebieg drugiej składowej 

Sumując powyższe przebiegi otrzymamy pożądany przebieg funkcji od chwili t=0 do chwili czasowej t=2T . Zanim jednak zaczniemy kolejną modyfikację, zastanówmy się nad zapisem analitycznym drugiej składowej przebiegu.

Analizując pierwszą składową, pierwszy element (A) zamieni się prawdopodobnie na -2A, ponieważ do takiej wartości ma miejsce zmiana wartości. Początek przebiegu od chwili czasowej  t=T spowoduje, że będzie trzeba przesunąć funkcję skoku jednostkowego o T w prawą stronę. Zgodnie z zasadami matematyki ze szkoły średniej, przesunięcie przebiegu w osi x w prawą stronę powoduje, że od elementu t należy odjąć chwilę T. 

Z matematyki powinniśmy kojarzyć poniższy zapis

Przesuwanie funkcji w osi x
Rys. 4 Przesuwanie funkcji w osi x 

Analogicznie do powyższego, matematycznego przykładu, możemy zapisać równanie dla drugiej składowej naszej funkcji. Zapiszemy je bezpośrednio nad tą funkcją, aby zachować ciągłość.

Wyznaczenie opisu drugiej funkcji składowej
Rys. 5 Wyznaczenie opisu drugiej funkcji składowej

Mając dane dwie funkcje możemy narysować sobie przebieg wypadkowy tych dwóch funkcji.

Przebieg wartości wypadkowej dwóch funkcji
Rys. 6 Przebieg wartości wypadkowej dwóch funkcji

Porównując powyższy przebieg z przebiegiem z zadania możemy zauważyć, że w chwili t=2T następuje ostatnia zmiana wartości. Aby funkcja wypadkowa wróciła do wartości zerowej, od chwili t=2T należy dodać funkcję o skoku jednostkowym do wartości A. Posługując się dotychczasowymi przykładami i umiejętnościami możemy na jednym przebiegu narysować dodatkową składową, wypadkową oraz opis analityczny trzeciej składowej.

Wyznaczenie trzeciej składowej funkcji
Rys. 7 Wyznaczenie trzeciej składowej funkcji

Jak można zauważyć, przebieg wypadkowy pokrywa się z naszą funkcją bazową, a zatem wyznaczyliśmy wszystkie składowe. Rozwiązaniem zatem jest suma tych trzech składowych .

Wyznaczony opis analityczny
Rys. 8 Wyznaczony opis analityczny

Wykonaliśmy zatem pierwszą część zadania - pozostało nam wykonać transformatę Laplace'a powyższej funkcji.

Przytoczymy w tym celu pewne zależności, które nam w tym pomogą. Pierwsza z nich, to transformata Laplace'a skoku jednostkowego, którą możemy odczytać z tablic - poniżej interesujący nas fragment.

Transformata Laplace'a skoku jednostkowego
Rys. 8 Transformata Laplace'a skoku jednostkowego

Druga wykorzystywana przez nas zależność, to będzie własność transformaty Laplace'a, dotycząca przesunięcia w dziedzinie rzeczywistej .

Przesunięcie transformaty Laplace'a w dziedzinie rzeczywistej
Rys. 9 Przesunięcie transformaty Laplace'a w dziedzinie rzeczywistej

Wykorzystując obie powyższe zależności jesteśmy w stanie wyznaczyć transformatę Laplace'a naszej funkcji f(t).

Transformata Laplace'a funkcji f(t)
Rys. 10 Transformata Laplace'a funkcji f(t)

Wyznaczenie powyższego opisu kończy zadanie. Czy jest ono trudne? W pierwszym kontakcie z tymi zagadnieniami, z całą pewnością tak, jednak przy wykonywaniu kolejnych przykładów można dostrzec analogię i robi się je już odruchowo.

Jeśli dotrwałaś lub dotrwałeś do końca i chcesz przećwiczyć sobie te zadania, a może również bardziej zagłębić się w temat, to zachęcam do sprawdzenia mojego kursu Transformata Laplace'a w automatyce .