Obliczanie reakcji podporowych w belce przegubowej - Blog | DobryKorepetytor
-20% na kolejny zakup! Dodaj opinię do kursu, a kupon rabatowy wyślemy na Twojego maila!

Udostępnij:

Mechanika

Obliczanie reakcji podporowych w belce przegubowej

Jak szybko i poprawnie obliczyć reakcje podporowe w belce przegubowej (belce gerberowskiej)
Mamy daną belkę przegubową, inaczej nazywaną belką Gerbera. Naszym zadaniem jest wyznaczyć wartości reakcji podporowych.
Belka przegubowa oparta na wsporniku i podporze pod kątem
Belka przegubowa oparta na wsporniku i podporze pod kątem

Belka składa się z dwóch belek prostych, połączonych ze sobą przegubem Gerbera. Pierwsza belka oparta jest na wsporniku, a druga na podporze przegubowo przesuwnej usytuowanej pod kątem do podłoża.

Belka obciążona jest obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym oraz siłą skupioną usytuowaną pod kątem do osi belki.

Zaczynamy od zastąpienia podpór odpowiednimi dla nich reakcjami oraz od zastąpienia obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego wypadkową siłą ciężkości.

Jeśli chcesz się dowiedzieć jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami, kliknij tutaj.
Zastąpienie podpór właściwymi dla nich reakcjami
Zastąpienie podpór właściwymi dla nich reakcjami

W punkcie A na belce wspornik blokuje możliwość ruchu w pionie, poziomie i możliwość obrotu, dlatego zastępujemy go reakcją na każdym z kierunków ruchu, które zostały zablokowane.

Podpora przegubowo przesuwna w punkcie B blokuje wyłącznie jeden kierunek ruchu - kierunek prostopadły do podstawy podpory. Mając na uwadze powyższe, tą podporę zastępujemy tylko jedną reakcją prostopadłą do podstawy podpory. Ponieważ podpora w punkcie B jest usytuowana pod kątem 60 stopni do podłoża, również reakcja podporowa, którą ją zastąpiliśmy, jest usytuowana pod kątem różnym do kąta prostego do osi belki.  

W standardowych zadaniach reakcje podporowe najczęściej  usytuowana są prostopadle lub równolegle do osi belki lub ramy.

Rozłóżmy zatem reakcje Vb oraz siłę 10 kN na dwie składowe, równoległą do osi X  i równoległą do osi Y.

Rozłożenie siły skupionej i reakcji podporowej na składowe
Rozłożenie siły skupionej i reakcji podporowej na składowe

Zacząłem od przyjęcia i narysowania w lewym górnym rogu układu współrzędnych XY, w którym będziemy działać. Teraz zajmę się rozłożeniem siły 10 kN, którą roboczo nazwałem P na składową równoległą do osi X i Y (rzutowanie siły na składowe).

Jak widzimy na rysunku wektor siły P działając na naszą belką próbuje ciągnąć ją w prawo i do góry. Logicznie rozumując, w taki sposób można ustalić zwroty poszczególnych sił składowych Px i Py. Analogicznie można to ustalić na podstawie zasady sumy wektorowej.

Ustalmy teraz na podstawie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wartości poszczególnych składowych Px i Py.

Obliczenie wartości rzutów siły na osie układu współrzędnych
Obliczenie wartości rzutów siły na osie układu współrzędnych

Siła P oraz obie składowe tworzą geometrycznie dwa trójkąty prostokątne. Wykorzystując własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, obliczam wartości obu składowych.

Po ustaleniu wartości składowych Px i Py we wszystkich kolejnych obliczeniach w zadaniu używamy tych składowych zamiast siły pod kątem.

Kolejnym wektorem, który musimy rozłożyliśmy na składowe jest reakcja Vb. Teraz ważne, aby ustalić właściwą lokalizację kąta beta. Są dwie możliwości, kąt znajduje się pomiędzy reakcją Vb a Vbx lub pomiędzy Vb a Vby. 

Aby ustalić lokalizację kąta beta, należy zastosować zasadę kofunkcji kąta.

Jak znaleźć kąt obrócony o 90 stopni
Jak znaleźć kąt obrócony o 90 stopni
Każdy kąt składa się z wierzchołka i dwóch ramion. Jeśli do każdego z ramion kąta wystawimy prostą prostopadłą (prosta niebieska i zielona), to pomiędzy tymi prostymi zajdziemy kąt alfa.
Jeś znjadziemy dwie dowolne proste, równoległe do każdego z ramion kąta, to pomiędzy tymi prostymi również znajdziemy kąt alfa.

Poszukajmy zatem, wśród prostych, na których leżą wektory Vb, Vbx i Vby, dwóch prostych, które będą prostopadłe do ramion kąta beta.

Rozkład reakcji podporowej Vb na składowe
Rozkład reakcji podporowej Vb na składowe

Na rysunku widzimy, że kierunek wektora Vby jest prostopadły do jednego z ramion kąta beta (ramie poziome), natomiast kierunek wektora Vb jest prostopadły do drugiego ramienia kąta beta (podstawa podpory). 

Możemy zatem stwierdzić, że kąt beta znajduje się pomiędzy wektorem Vby a Vb. Wektory Vb, Vbx i Vby tworzą dwa trójkąty prostokątne. 

Rozkład reakcji w podporze B na składowe
Rozkład reakcji w podporze B na składowe

Jak widzimy na powyższym rysunku, reakcja Vb oraz jej składowe Vbx i Vby tworzą trójkąt prostokątny. Na podstawie własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym obliczamy zależności pomiędzy składowymi a wektorem wypadkowym Vb.

W tak przygotowanej belce przegubowej możemy teraz zapisać równanie sumy momentów w przegubie po prawej stronie i obliczyć wartość reakcji Vb.

Moment w przegubie jest zawsze równy zero. Ta własność przegubów, pozwala nam obliczać moment w przegubie łączącym dwie części belki, osobno po prawej  i po lewej stronie.
Suma momentów w przegubie po prawej stronie
Suma momentów w przegubie po prawej stronie
Jeśli chcesz wiedzieć jak znakować momenty na belce, kliknij tutaj.

Obliczając moment w punkcie C po prawej stronie wyznaczam wartość reakcji Vb. Wynik wyszedł ujemny, co oznacza, że wektor reakcji Vb działa z przeciwnym zwrotem do założonego przez nas na początku zadania.  Mając na uwadze powyższe, skreślam pierwotnie założony zwrot reakcji Vb (oraz składowych) oraz zaznaczam nowy, właściwy zwrot (zieolne strzałki na rysunku). 

Po zmianie zwrotu reakcji na właściwy nanoszę na belkę wartość bezwzględną reakcji.

Kolejne równanie równowagi, jakie zapiszemy, to suma rzutów sił na oś Y. Z tego równania wyznaczymy wartość reakcji podporowej Va.

Suma rzutów sił na oś Y
Suma rzutów sił na oś Y

Zapisując równanie sumy rzutów sił na oś Y, szukamy sił równoległych do osi Y. Jeśli zwrot siły jest zgodny ze zwrotem osi znakujemy "+", jeśli przeciwny znakujemy "-".

Korzystając z równania sumy rzutów sił na oś X, obliczymy wartość reakcji Ha.

Suma rzutów sił na oś x
Suma rzutów sił na oś x

Podobnie jak w przypadku sumy rzutów sił na oś Y, tym razem szukamy sił równoległych do osi X.  Jeśli zwrot wektora siły jest zgodny ze zwrotem osi, dodajemy, jeśli przeciwny odejmujemy.

Do obliczenia został nam jeszcze moment utwierdzenia we wsporniku, Mua. Najprościej będzie go wyznaczyć z równania równowagi - sumy momentów w przegubie po jego lewej stronie.

Suma momentów w przegubie po stronie lewej
Suma momentów w przegubie po stronie lewej

Mamy już wyznaczone wszystkie reakcje podporowe w belce przegubowej. Pozostało zrobić sprawdzenie.

Pamiętajcie, zawsze należy wykonać równanie sprawdzające poprawność obliczenia reakcji. Pozwoli ono wykryć ewentualne błędy na tym etapie zadania.

Jako równanie sprawdzające, należy wybrać takie równanie równowagi, którego jeszcze nie używaliśmy do obliczania  reakcji podporowych.

Obliczmy zatem sumę momentów w punkcie przyłożenia siły 10 kN. Nazwę ten punkt D.

Suma momentów w punkcie D jako sprawdzenie
Suma momentów w punkcie D jako sprawdzenie

Wynik równania sprawdzającego to zero. Oznacza to, że poprawnie obliczyliśmy wartości reakcji podporowych w belce przegubowej.

Ostatnia aktualizacja: 04.02.2021
Czy ten artykuł był pomocny?
  0   0