Obliczanie głównych, centralnych momentów bezwładności przekroju dwuteowego - Blog | DobryKorepetytor
-30% na kolejny zakup! Dodaj opinię do kursu, a kupon rabatowy otrzymasz na maila! Do końca:

Udostępnij:

Mechanika

Obliczanie głównych, centralnych momentów bezwładności przekroju dwuteowego

Jak szybko i bezbłędnie obliczyć główne, centralne momenty bezwładności w dwuteowniku

W tym wpisie obliczymy główne centralne momenty bezwładności dla przekroju w kształcie dwuteownika. Załóżmy, że wcześniej wyznaczyliśmy położenie środka ciężkości przekroju i wrysowaliśmy lokalizację osi głównych centralnych.

Pamiętajcie, moment bezwładności to opór, jaki stawia masa w ruchu obrotowym wokół osi. Moment bezwładności obliczamy zawsze względem wskazanej osi obrotu.

Na poniższym zdjęciu mamy wymiarowany przekrój dwuteowy wraz z zaznaczonymi osiami głównymi, centralnymi.

Osie główne, centralne w przekroju dwuteowym
Rys. 1 Osie główne, centralne w przekroju dwuteowym

Zaczniemy od obliczenia momentu bezwładności względem osi Xo. Nasz przekrój jest podzielony na 3 figury proste (prostokąty) oznaczone numerami od 1 do 3. W środku ciężkości każdego z tych prostokątów narysowałem lokalny układ osi centralnych. 

Zaczniemy od zapisania momentu bezwładności prostokąta nr 1 względem jego osi centralnej Xo1.

Moment bezwładności przekroju dwuteowego
Rys. 2 Moment bezwładności przekroju dwuteowego

Wymiar boku prostokąta nr 1, który jest równoległy do osi, względem której obliczamy moment bezwładności, podnosimy w liczniku naszego wzoru do potęgi pierwszej, natomiast wymiar boku, który jest prostopadły do osi, względem której liczmy moment bezwładności, podnosimy do potęgi trzeciej. Wartość mianownika we wzorze na moment bezwładności prostokąta i kwadratu jest stała i wynosi 12.

W prostokącie nr 1 bok równoległy do osi Xo1 ma długość 10 cm, i ta długość w liczniku wzoru podniesiona jest do potęgi pierwszej. Bok prostopadły do osi Xo1 ma długość 2 cm, i ta długość w liczniku wzoru podniesiona jest do potęgi trzeciej.

Mając zapisany wzór na moment bezwładności prostokąta nr 1 względem osi Xo1, chcemy otrzymać wartość momentu bezwładności prostokąta nr 1 względem osi centralnej dla całego przekroju, Xo.

Aby obliczyć wartość momentu bezwładności względem dowolnej osi równoległej do osi, względem której mamy już obliczony moment bezwładności, musimy zastosować Twierdzenie Steinera.
Zastosowanie Twierdzenia Steinera
Rys. 3 Zastosowanie Twierdzenia Steinera

Zgodnie z definicją Twierdzenia Steinera do zapisanego wzoru na moment bezwładności prostokąta nr 1 względem osi Xo1 dodajemy pole powierzchni tego prostokąta i mnożymy przez odległość między osią Xo1 a osią Xo podniesioną do kwadratu.

Odległość pomiędzy osią Xo1 a osią Xo zapisujemy jako różnicę pomiędzy odległością od podstawy dwuteownika do osi Xo1 a odległością od podstawy dwuteownika do osi Xo.

Analogicznie postępujemy w przypadku prostokąta nr 2.

Przejście z momentem bezwładności między osiami przy wykorzystaniu Twierdzenia Steinera
Rys. 4 Przejście z momentem bezwładności między osiami przy wykorzystaniu Twierdzenia Steinera

W prostokącie nr 2 wymiar boku równoległego do osi Xo2 jest równy 2 cm (w liczniku wzoru na moment bezwładności prostokąta podniesiony do potęgi pierwszej) a wymiar boku prostopadłego do osi Xo2 jest równy 14 cm (w liczniku  wzoru na moment bezwładności prostokąta podniesiony do potęgi trzeciej). 

Następnie przy zastosowaniu Twierdzenia Steinera uzyskujemy wartość momentu bezwładności prostokąta nr 2 względem osi centralnej całego przekroju, Xo.

Tak samo postępujemy w przypadku momentu bezwładności trzeciego prostokąta.

Twierdzenie Steinera w obliczaniu momentu bezwładności przekroju
Rys. 5 Twierdzenie Steinera w obliczaniu momentu bezwładności przekroju

Używając kalkulatora naukowego, obliczamy wartość momentu bezwładności przekroju dwuteowego względem osi głównej centralnej. Jednostką momentu bezwładności jest w tym przypadku centymetr do potęgi czwartej.

Następnie obliczamy główny centralny moment bezwładności przekroju względem osi Yo.

Obliczanie momentu bezwładności względem pionowej osi symetrii przekroju
Rys. 6 Obliczanie momentu bezwładności względem pionowej osi symetrii przekroju

Zapisujemy wzór na moment bezwładności prostokąta nr 1 względem jego osi centralnej Yo1. Długość boku równoległego do osi Yo1 wynosi 2 cm i we wzorze na moment bezwładności prostokąta jest podniesiona do potęgi pierwszej. Długość boku prostopadłego do osi Yo1 wynosi 10 cm i we wzorze na moment bezwładności prostokąta jest podniesiona do potęgi trzeciej.

Należy zauważyć, że w tym przypadku odległość osi Yo1 od osi Yo jest równa zero (osie się pokrywają). W takim przypadku nie musimy stosować Twierdzenia Steinera.

Podobnie postępujemy w przypadku pozostałych prostokątów, a następnie używając kalkulatora naukowego obliczamy wartość momentu bezwładności przekroju dwuteowego względem osi Yo.

Sprawdzenie poprawności wyników możemy wykonać za pośrednictwem programu AutoCad. Kliknij tutaj, aby dowiedzieć się, jak to zrobić.