Udostępnij:

Matematyka

Jak rozwiązywać nierówności kwadratowe?

W tym wpisie pokażę jak rozwiązywać nierówności kwadratowe na przykładzie zadań maturalnych.

  Schemat rozwiązywania nierówności kwadratowych na maturze

      W tym artykule wyjaśnię w jaki sposób rozwiązywać nierówności kwadratowe . Jest to jedna z najbardziej podstawowych umiejętności jaką maturzysta powinien posiąść przystępując do egzaminu maturalnego - na dosłownie każdej maturze w ciągu ostatnich kilkunastu lat pojawiała się nierówność kwadratowa jako zadanie maturalne do rozwiązania - zawsze za dwa punkty, zatem odpuszczenie sobie tego zagadnienia jest jak przejście obok dwudziestu złotych leżących na ulicy i stwierdzenie "nie chcę tych dwudziestu złotych, nie są mi do niczego potrzebne". Choć w dobie coraz większej inflacji możliwe, że za jakiś czas faktycznie 20 zł nikomu się na nic nie przyda, to jeszcze na ten moment opłaca się po nie schylić. Na szczęście zjawisko inflacji nie dotyczy punktów na maturze - zawsze warto nauczyć się rozwiązywania nierówności kwadratowych , gdyż jest to pewniak maturalny i darmowe 4% jeżeli włożymy odrobinę wysiłku i rozwiążemy chociażby kilkanaście nierówności. 

Zatem jak rozwiązywać nierówności kwadratowe? Schemat postępowania jest następujący:

  1. Porządkujemy nierówność tzn. jeżeli widzimy nawiasy to się ich pozbywamy, redukujemy wyrazy podobne itp.
  2. Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności tak, aby po prawej stronie została sama liczba 0
  3. Gdy już wszystko mamy po lewej stronie nierówności, przekształcamy ją w taki sposób aby otrzymać wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej:  \(ax^2+bx+c\)
  4. Liczymy deltę  \(\triangle\)  czyli tak zwany wyróżnik trójmianu kwadratowego (warto znać tę nazwę, gdyż czasami w treści polecenia może pojawić się sformułowanie "oblicz wyróżnik" lub coś podobnego - będziemy wtedy wiedzieli, że takie polecenie oznacza po prostu "oblicz deltę" i zaoszczędzimy sobie niepotrzebnych ataków paniki oraz palpitacji serca na sprawdzianie czy maturze). W niektórych nierównościach kwadratowych nie trzeba obliczać delty (czyli wyróżnika), jednak rozwinę ten wątek później na konkretnym przykładzie.
  5. Gdy już wyliczymy deltę to następny krok zależy od tego jaka jest wartość delty:      a) Jeżeli delta jest dodatnia , czyli większa od zera, to oznacza, że funkcja kwadratowa  \(ax^2+bx+c\)   ma dwa miejsca zerowe , które obliczymy i  będziemy oznaczać jako  \({x}_1\)  oraz  \({x}_2\) .                                                                                                          b) Jeżeli delta jest równa zero to oznacza, że funkcja kwadratowa  \(ax^2+bx+c\)  ma jedno miejsce zerowe , które obliczymy i będziemy oznaczać jako  \({x}_0\) .                    c) Jeżeli delta jest ujemna , czyli mniejsza od zera, to oznacza, że funkcja kwadratowa  \(ax^2+bx+c\)   nie ma miejsc zerowych.  
  6. Gdy już obliczymy miejsca zerowe    \({x}_1\)  oraz  \({x}_2\)  lub stwierdzimy, że jest tylko jedno miejsce zerowe  \({x}_0\)  lub stwierdzimy, że nie ma w ogóle miejsc zerowych to rysujemy oś OX (czyli po prostu oś "iksów"), zaznaczamy na tej osi miejsca zerowe i szkicujemy przybliżony wykres paraboli . Gdy miejsc zerowych nie ma to od razu przystępujemy do rysowania paraboli.
  7. Odczytujemy z narysowanego wykresu funkcji  zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej.   

      Wszelkie wzory z których będę korzystać zakładam, że znasz. Jeżeli jednak nie znasz wzorów i masz sparaliżowane ręce i nie możesz otworzyć podręcznika / notatek z lekcji / tablic maturalnych - wklejam wycinek z tablic maturalnych. Na czerwono zaznaczyłem wzory, z których będziemy korzystać podczas rozwiązywania nierówności kwadratowych w tym artykule. 

Rys. 1 Rozdział ósmy z tablic maturalnych - funkcja kwadratowa

 

Przejdźmy zatem do rozwiązywania nierówności kwadratowych, które pojawiały się na maturze - weźmy sobie na początek zadanie 26 z matury poprawkowej z sierpnia 2016:

Zadanie 26. Rozwiąż nierówność:  \(3x^2-6x\geq(x-2)(x-8)\)

Zatem lecimy zgodnie z podanym wcześniej schematem czyli punkt 1. porządkujemy nierówność -   pozbywamy się nawiasów, redukujemy wyrazy podobne.

 

Rys.1 Porządkujemy nierówność - wymnażamy nawiasy, redukujemy wyrazy podobne
Rys. 2  Porządkujemy nierówność - wymnażamy nawiasy, redukujemy wyrazy podobne

Punkt 2.   Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności tak, aby po prawej stronie została sama liczba 0. Pamiętamy oczywiście o tym, że gdy przerzucamy jakiekolwiek wyrażenie na drugą stronę równania lub nierówności ( w tym przypadku nierówności kwadratowej ) to zmieniamy znak tego wyrażenia na przeciwny.

Rys. 3 Przerzucamy wszystko na lewą stronę tak, aby po prawej stronie została sama liczba 0

Punkt 3.   Gdy już wszystko mamy po lewej stronie nierówności, przekształcamy ją w taki sposób aby otrzymać wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej \(ax^2+bx+c\)

Rys. 4 Przekształcamy lewą stronę nierówności do postaci ogólnej ax^2+bx+c

Punkt 4.  Liczymy deltę. Jednak zanim to zrobię, podzielę tę nierówność obustronnie przez 2, aby mieć mniejsze liczby i łatwiej się będzie liczyło wyróżnik (pamiętamy, że wyróżnik to jest to samo co delta). Czy jest to obowiązkowe? Oczywiście nie. Jeżeli ktoś nie podzieli przez 2 tej nierówności i od razu zacznie liczyć deltę - wszystko w porządku.  Wyniki oczywiście wyjdą takie same. Polecam jednak nauczyć się "zauważania" takich rzeczy, aby sobie ułatwiać na bieżąco obliczenia. Jeśli na maturze nie pamiętamy wzoru na deltę lub na \({x}_1, {x}_2\) , to zerkamy do tablic maturalnych do rozdziału ósmego - funkcja kwadratowa. Jeżeli na początku nauki rozwiązywania nierówności kwadratowych masz problem z podstawieniem odpowiednich liczb za współczynniki  \(a,b,c\)  do wzorów - warto sobie na początku wypisywać gdzieś z boku ile wynoszą poszczególne współczynniki - z czasem gdy już rozwiążemy trochę tych nierówności to już z automatu będziemy je wstawiać. 

Rys. 5 Dzielę obustronnie nierówność przez 2, wypisuję z boku współczynniki \(a,b,c\) i liczę deltę.

Punkt 5. Zatem wyliczyliśmy deltę i jest ona równa 36. Wniosek? Funkcja kwadratowa  \(x^2+2x-8\)  ma dwa miejsca zerowe, ponieważ delta jest większa od zera czyli jest dodatnia. Następnym krokiem jest obliczenie tych miejsc zerowych - czyli liczę  \({x}_1, {x}_2\) . Do tego będę potrzebował jeszcze obliczyć pierwiastek z delty. Najczęściej za poprawne obliczenie miejsc zerowych jest już jeden punkt z dwóch za to zadanie. Zatem jest to pierwszy najważniejszy moment w zadaniu.

Rys. 6 Obliczam pierwiastek z delty, a następnie miejsca zerowe \({x}_1, {x}_2\).

Punkt 6. Rysujemy oś OX i zaznaczamy na niej wcześniej obliczone miejsca zerowe. Następnie szkicujemy przybliżony wykres paraboli. Teraz ważny moment - jeżeli współczynnik  \(a\)  (czyli ta liczba, która stoi przy  \(x^2\) ) jest dodatni , to ramiona paraboli są skierowane w górę (niektórzy zapamiętują to w ten sposób, że buzia jest uśmiechnięta). Natomiast jeżeli współczynnik  \(a\)  jest ujemny to ramiona paraboli są skierowane w dół (czyli buzia jest smutna). Gdy już wiemy czy parabola ma ramiona skierowane w dół lub w górę, rysujemy ją tak, aby przechodziła przez miejsca zerowe, które wcześniej zaznaczyliśmy na osi OX. W naszym przypadku współczynnik  \(a\)  jest równy 1, zatem ramiona paraboli są skierowane ku górze (buzia jest uśmiechnięta, bo potrafimy już rozwiązywać nierówności kwadratowe, hura!). 

Rys. 7 Rysujemy oś OX, zaznaczamy na niej miejsca zerowe i szkicujemy parabolę skierowaną ku górze, ponieważ współczynnik \(a\) jest dodatni.

Punkt 7. Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności z wykresu. Tutaj wśród moich uczniów z poziomu podstawowego czasami jest największy problem - a to jest drugi z najważniejszych momentów w zadaniu, gdyż za poprawne podanie zbioru rozwiązań jest najczęściej drugi punkt za to zadanie na maturze. Zatem jak należy odczytywać zbiór rozwiązań z wykresu? Otóż wpierw należy spojrzeć na to jak wygląda nierówność, którą wykorzystaliśmy aby obliczyć deltę. Nasza nierówność wyglądała tak:

Rys. 8 Nierówność kwadratowa, którą wykorzystaliśmy aby obliczyć deltę.

Następnie patrzymy na to, w którą stronę jest zwrócony znak nierówności. W naszym przypadku widzimy, że jest zwrócony w prawo, zatem nasz trójmian kwadratowy (bez stresu, trójmian kwadratowy to jest po prostu to co jest po lewej stronie nierówności czyli  \(x^2+2x-8\) ) ma być większy lub równy zeru. 

Rys. 9 Trójmian kwadratowy jest większy lub równy zeru.

Teraz pełne skupienie - w sytuacji gdy mamy napisane w nierówności "większe lub równe zero czyli \(\geq0\) " lub po prostu "większe czyli \(>0\) ", to bierzemy pod uwagę TYLKO i WYŁĄCZNIE ten fragment wykresu który jest NAD osią OX, czyli: 

Rys. 10 Na niebiesko zaznaczony jest fragment paraboli, który nas interesuje. 

      A co by było, gdyby w nierówności było napisane "mniejsze lub równe zero czyli  \(\leq0\) " lub po prostu "mniejsze od zero czyli  \(<0\) "? Analogicznie - bralibyśmy pod uwagę TYLKO i WYŁĄCZNIE  ten fragment wykresu jest jest POD osią OX. No dobra, co dalej? Odczytujemy teraz z wykresu który fragment osi OX odpowiada temu niebieskiemu fragmentowi paraboli. Część osób może sobie teraz zadać pytanie "A co to znaczy, że jakiś fragment osi OX odpowiada fragmentowi paraboli?" Zobrazujmy to sobie - na rysunku 11 podzieliłem dla lepszego zrozumienia zielonymi pionowymi liniami oś OX. Mam nadzieję, że teraz widać co mam na myśli gdy piszę, że dany fragment paraboli odpowiada danemu fragmentowi osi OX . Pisząc "odpowiada" mam tak naprawdę na myśli, że niebieski fragment paraboli znajduje się w przedziale "iksów"  \((-\infty;-4>\)  oraz  \(<2;\infty)\) , natomiast czerwony fragment paraboli "odpowiada" środkowemu przedziałowi czyli innymi słowy czerwony fragment paraboli znajduje się w przedziale  \((-4;2)\)

     Pozostaje jeszcze ostatnia kwestia - kiedy dany przedział ma być domknięty, a kiedy otwarty? Czyli innymi słowy - kiedy zapisywać nawiasy "okrągłe"  \((\)  lub  \()\)  albo nawiasy "ostre"  \(<\)  lub  \(>\) . Tutaj sprawa jest bardzo prosta - zawsze gdy w nierówności mamy napisane  \(\geq0\)  lub  \(\leq0\)  to domykamy przedziały , czyli zapisujemy nawiasy "ostre". Z kolei gdy w nierówności mamy napisane  \(>0\)  lub  \(<0\)  to przedziały otwieramy , czyli zapisujemy nawiasy "okrągłe". W naszym przypadku mamy napisane  \(\geq0\) , zatem zapiszemy nawiasy "ostre". Oczywiście pamiętamy o tym, że przy nieskończonościach piszemy ZAWSZE nawiasy "okrągłe".

Rys. 11 Niebieski fragment paraboli odpowiada przedziałowi po lewej i prawej, natomiast czerwony fragment paraboli odpowiada przedziałowi po środku.

Tak więc zbiorem rozwiązań nierówności kwadratowej jest przedział  \((-\infty;-4>\cup<2;\infty)\) . Zapiszemy to na maturze w następujący sposób:

Rys. 12 Końcowa odpowiedź czyli podanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.

      Ten znaczek " \(\in\) " czytamy "należy do". Zatem na koniec zapisujemy "x należy do przedziału" i zapisujemy przedział. Z kolei ten znaczek " \(\cup\) " oznacza sumę przedziałów i używamy go wtedy, gdy dwa rozłączne przedziały są rozwiązaniem nierówności. I to tyle, mamy dwa punkty i gituwa.

Podczas omawiania schematu rozwiązywania nierówności kwadratowych w punkcie 4. wspomniałem, że w niektórych przykładach nie trzeba obliczać delty. Pokażę teraz taki przykład z zadania 26 z lipca 2020 z terminu dodatkowego:

Zadanie 26. Rozwiąż nierówność:  \((2x+5)(3x-1)\geq0\)

      W takiej sytuacji część maturzystów wymnożyłaby te nawiasy, redukowała wyrazy podobne, liczyła deltę i tak dalej. Tak też można i ten sposób jest jak najbardziej poprawny. Pokażę jednak dużo szybszy sposób. W sytuacji jak tutaj tzn. gdy mamy po lewej stronie nierówności iloczyn dwóch nawiasów, a po prawej stronie jest już zero to można od razu przystąpić do wyznaczania miejsc zerowych  \({x}_1, {x}_2\) . W jaki sposób? Tworzymy sobie RÓWNANIE   \((2x+5)(3x-1)=0\)  i je rozwiązujemy. Jak je najszybciej rozwiązać? Skorzystamy z własności iloczynu równego zero tzn. iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero (wiadomo, np.   \(3\cdot0=0\)  lub  \(0\cdot12=0\)  itd.). Czyli przyrównujemy każdy z czynników (w tym przypadku każdy z nawiasów) osobno do zera i rozwiązujemy otrzymane równania. 

Rys. 13 W celu wyznaczenia miejsc zerowych przyrównujemy każdy nawias osobno do zera i rozwiązujemy otrzymane równania

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, które są miejscami zerowymi. Możemy zatem już teraz przystąpić do rysowania paraboli.

Rys. 14 Sporządzamy rysunek paraboli​​​​​​

Ewentualne pytanie może powstać przy okazji rysowania paraboli - ramiona mają być skierowane w górę czy w dół? Aby sobie na to odpowiedzieć można wymnożyć składniki, które mają w sobie "iksa" w każdym nawiasie i otrzymamy  \(2x\cdot3x=6x^2\) . Widzimy zatem, że liczba przy  \(x^2\)  jest dodatnia - zatem ramiona będą skierowane do góry. Reszta tak jak w poprzednim przykładzie tzn. widzimy, że w nierówności mamy napisane " \(\geq0\) ", więc interesuje nas ten fragment wykresu, który jest NAD osią OX - czyli zaznaczony na niebiesko fragment paraboli na rysunku 15.

Rys. 15 Fragment paraboli, który nas interesuje zaznaczony na niebiesko

Odczytujemy z wykresu zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej.

Rys. 16 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej

Pozostaje jeszcze tylko kwestia nawiasów - przy nieskończonościach rzecz jasna zawsze zapisujemy nawiasy "okrągłe", natomiast pozostałe nawiasy będą "ostre", ponieważ mamy napisane w nierówności " \(\geq\) ".