Jak narysować wykres funkcji liniowej bez tabelki i obliczeń? - Blog | DobryKorepetytor
-20% na kolejny zakup! Dodaj opinię do kursu, a kupon rabatowy wyślemy na Twojego maila!

Udostępnij:

Matematyka

Jak narysować wykres funkcji liniowej bez tabelki i obliczeń?

W tym artykule wytłumaczę w jaki sposób, bez zbędnych obliczeń i sporządzania tabelki, narysować wykres funkcji liniowej.
Co to jest funkcja liniowa? 

Zacznijmy na początek od tego czym jest w ogóle funkcja liniowa. Jest to funkcja, którą można opisać wzorem  \(y=ax+b\) (jest to tzw. postać kierunkowa funkcji liniowej). gdzie \(a\) i \(b\) są to ustalone liczby rzeczywiste (czyli po prostu jakieś tam dowolne liczby). 

Współczynnik \(a\) jest to tzw. współczynnik kierunkowy - informuje nas o monotoniczności funkcji liniowej tzn. o tym czy funkcja jest rosnąca, stała czy malejąca. Z kolei współczynnik \(b\) jest to tzw. wyraz wolny i informuje o tym gdzie znajduje się punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią OY (czyli z osią "igreków" po prostu).

Przykładowo: jeżeli współczynnik \(b\) jest równy 3, to będzie to oznaczać iż wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0;3). Zwróćmy od razu uwagę, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia z osią OY jest zawsze równa zero, ponieważ każdy punkt znajdujący się na osi OY ma współrzędna "iksową" równą zeru.

Na poniższym rysunku podany jest przykładowy wykres funkcji liniowej z którego bez problemu możemy wywnioskować, że zarówno współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, ponieważ funkcja jest rosnąca, jak i wyraz wolny, ponieważ przecina oś rzędnych ("oś rzędnych" to po prostu inna nazwa na oś OY, na oś OX mówi się też czasem "oś odciętych") w punkcie (0;8). 

Przykładowy wykres funkcji liniowej
Rys.1 Przykładowy wykres funkcji liniowej
​​​​
Jak szybko narysować wykres funkcji liniowej bez obliczeń i tabelki?

Skoro wiemy już czym jest funkcja liniowa i o czym informują współczynniki \(a\) i \(b\), wytłumaczę jak w szybki i prosty sposób narysować wykres funkcji liniowej.

Narysujmy sobie wykres funkcji np. \(y=2x+5\) - najwygodniej jest korzystać z tego sposobu na kartce w kratkę, natomiast bez kratek też można skorzystać z tej metody - trzeba tylko narysować sobie podziałkę na osiach na tyle dokładnie na ile to możliwe "na oko" albo za pomocą linijki.

Metoda wygląda następująco: zaczynamy zawsze od określenia ile wynosi wyraz wolny \(b\). W naszym przypadku jest on równy 5, zatem zaznaczamy na osi OY punkt (0;5). To jest nasz pierwszy punkt - aby narysować prostą (wykresem funkcji liniowej jest linia prosta) wystarczą nam dwa punkty - można oczywiście zaznaczyć więcej ale nie ma takiej potrzeby, ponieważ gdy mamy już dwa dowolne punkty na jakiejś płaszczyźnie to jesteśmy w stanie narysować prostą przechodzącą przez te dwa punkty tylko i wyłącznie w jeden sposób. Można oczywiście zaznaczyć więcej punktów należących do tej prostej, jednak nadal wyjdzie nam ta sama prosta - staramy się zatem minimalizować wysiłek i czas włożony w wykonanie tego zadania i będę zaznaczać tylko dwa punkty. 

Powracając - musimy znaleść jeszcze drugi punkt. W tym celu odczytujemy współczynnik kierunkowy - wynosi on 2. Przydatnym może być przedstawienie liczby 2 w postaci ułamka \(2\over1\). I teraz tak: liczba w liczniku informuje nas o przesunięciu góra / dół - jeżeli jest dodatnia to idziemy w górę, jeżeli ujemna - w dół. Analogicznie z liczbą w mianowniku tzn. odpowiada ona za przesunięcie lewo / prawo i jeżeli jest dodatnia to poruszamy się w prawo, jeżeli ujemna to w lewo. Zatem skoro współczynnik kierunkowy wynosi  \(2\over1\) to z punktu (0;5) poruszamy się o dwie kratki do góry i jedną kratkę w prawo - obrazują to poniższe rysunki.

Zaznaczamy punkt przecięcia z osią OY (punkt A)
Rys. 2 Zaznaczamy punkt przecięcia z osią OY (punkt A)
Poruszamy się 2 kratki w górę i jedną w prawo z punktu A
Rys. 3 Poruszamy się 2 kratki w górę i 1 w prawo z punktu A
Prowadzimy prostą przez punkty A i B
Rys. 4 Prowadzimy prostą przez punkty A i B

Pokażmy sobie tę metodę na drugim przykładzie, gdzie współczynnik kierunkowy będzie ujemny i na dodatek będzie ułamkiem. Spróbujmy narysować wykres funkcji \(y=-\frac{\text{3}}{\text{4}}x-2\). Zaczynamy tak samo tzn. odczytujemy wpierw ze wzoru funkcji, że wyraz wolny \(b=-2\), tak więc zaznaczamy na osi OY punkt (0;-2). 

Zaznaczmy punkt przecięcia z osią OY
Rys. 5 Zaznaczmy punkt przecięcia z osią OY

Następnie odczytujemy wartość współczynnika kierunkowego - oczywiście wynosi on \(-\frac{\text{3}}{\text{4}}\). Co z tym minusem robimy w takim razie? Możemy na dwa sposoby do tego podejść. Znak minus możemy sobie wrzucić do licznika lub do mianownika - nie ma to absolutnie żadnego znaczenia. Dlaczego nie ma to znaczenia? Wrzućmy na początek ten minus do licznika - otrzymamy wtedy \(\frac{\text{-3}}{\text{4}}\). Zatem z zaznaczonego wcześniej punktu A idziemy o trzy kratki w dół, a następnie o 4 kratki w prawo. Mamy w ten sposób drugi punkt wykresu. Wystarczy teraz połączyć otrzymane punkty i mamy gotowy wykres. Obrazują to poniższe rysunki: 

Z punktu A poruszamy się 3 kratki w dół i 4 w prawo
Rys. 6 Z punktu A poruszamy się 3 kratki w dół i 4 w prawo
Prowadzimy prostą przez punkty A i B
Rys. 7 Prowadzimy prostą przez punkty A i B

Zobaczmy teraz co się stanie, jeżeli wrzucimy wspomniany minus do mianownika tym razem. Współczynnik kierunkowy zapiszemy wtedy jako \(\frac{3}{-4}\). W takiej sytuacji z punktu A poruszamy się 3 kratki w górę oraz 4 kratki w lewo - otrzymujemy drugi punkt należący do szukanej prostej. 

Z punktu A poruszamy się 3 kratki w górę i 4 w lewo
Rys. 8 Z punktu A poruszamy się 3 kratki w górę i 4 w lewo
Prowadzimy prostą przez punkty A i B
Rys. 9 Prowadzimy prostą przez punkty A i B

Jak łatwo zauważyć, otrzymaliśmy rzecz jasna dokładnie taki sam wykres naszej funkcji. Widzimy zatem, że nie ma żadnego znaczenia w jaki sposób zapiszemy współczynnik kierunkowy - ważne tylko, aby pamiętać o tych prostych zasadach o których wspomniałem we wpisie.

Ostatnia aktualizacja: 17.02.2021
Czy ten artykuł był pomocny?
  3   0