Co to jest funkcja liniowa?
Zacznijmy na początek od tego czym jest w ogóle funkcja liniowa . Jest to funkcja, którą można opisać wzorem \(y=ax+b\) (jest to tzw. postać kierunkowa funkcji liniowej). gdzie \(a\) i \(b\) są to ustalone liczby rzeczywiste (czyli po prostu jakieś tam dowolne liczby).
Współczynnik \(a\) jest to tzw. współczynnik kierunkowy - informuje nas o monotoniczności funkcji liniowej tzn. o tym czy funkcja jest rosnąca, stała czy malejąca. Z kolei współczynnik \(b\) jest to tzw. wyraz wolny i informuje o tym gdzie znajduje się punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią OY (czyli z osią "igreków" po prostu).
Przykładowo: jeżeli współczynnik \(b\) jest równy 3, to będzie to oznaczać iż wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0;3). Zwróćmy od razu uwagę, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia z osią OY jest zawsze równa zero, ponieważ każdy punkt znajdujący się na osi OY ma współrzędna "iksową" równą zeru.
Na poniższym rysunku podany jest przykładowy wykres funkcji liniowej z którego bez problemu możemy wywnioskować, że zarówno współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, ponieważ funkcja jest rosnąca, jak i wyraz wolny, ponieważ przecina oś rzędnych ("oś rzędnych" to po prostu inna nazwa na oś OY, na oś OX mówi się też czasem "oś odciętych") w punkcie (0;8).
Jak szybko narysować wykres funkcji liniowej bez obliczeń i tabelki?
Skoro wiemy już czym jest funkcja liniowa i o czym informują współczynniki \(a\) i \(b\), wytłumaczę jak w szybki i prosty sposób narysować wykres funkcji liniowej .
Narysujmy sobie wykres funkcji np. \(y=2x+5\) - najwygodniej jest korzystać z tego sposobu na kartce w kratkę, natomiast bez kratek też można skorzystać z tej metody - trzeba tylko narysować sobie podziałkę na osiach na tyle dokładnie na ile to możliwe "na oko" albo za pomocą linijki.
Metoda wygląda następująco: zaczynamy zawsze od określenia ile wynosi wyraz wolny \(b\). W naszym przypadku jest on równy 5, zatem zaznaczamy na osi OY punkt (0;5) . To jest nasz pierwszy punkt - aby narysować prostą (wykresem funkcji liniowej jest linia prosta) wystarczą nam dwa punkty - można oczywiście zaznaczyć więcej ale nie ma takiej potrzeby, ponieważ gdy mamy już dwa dowolne punkty na jakiejś płaszczyźnie to jesteśmy w stanie narysować prostą przechodzącą przez te dwa punkty tylko i wyłącznie w jeden sposób. Można oczywiście zaznaczyć więcej punktów należących do tej prostej, jednak nadal wyjdzie nam ta sama prosta - staramy się zatem minimalizować wysiłek i czas włożony w wykonanie tego zadania i będę zaznaczać tylko dwa punkty.
Powracając - musimy znaleść jeszcze drugi punkt. W tym celu odczytujemy współczynnik kierunkowy - wynosi on 2. Przydatnym może być przedstawienie liczby 2 w postaci ułamka \(2\over1\). I teraz tak: liczba w liczniku informuje nas o przesunięciu góra / dół - jeżeli jest dodatnia to idziemy w górę, jeżeli ujemna - w dół. Analogicznie z liczbą w mianowniku tzn. odpowiada ona za przesunięcie lewo / prawo i jeżeli jest dodatnia to poruszamy się w prawo, jeżeli ujemna to w lewo. Zatem skoro współczynnik kierunkowy wynosi \(2\over1\) to z punktu (0;5) poruszamy się o dwie kratki do góry i jedną kratkę w prawo - obrazują to poniższe rysunki.
Pokażmy sobie tę metodę na drugim przykładzie, gdzie współczynnik kierunkowy będzie ujemny i na dodatek będzie ułamkiem. Spróbujmy narysować wykres funkcji \(y=-\frac{\text{3}}{\text{4}}x-2\). Zaczynamy tak samo tzn. odczytujemy wpierw ze wzoru funkcji, że wyraz wolny \(b=-2\), tak więc zaznaczamy na osi OY punkt (0;-2).
Następnie odczytujemy wartość współczynnika kierunkowego - oczywiście wynosi on \(-\frac{\text{3}}{\text{4}}\). Co z tym minusem robimy w takim razie? Możemy na dwa sposoby do tego podejść. Znak minus możemy sobie wrzucić do licznika lub do mianownika - nie ma to absolutnie żadnego znaczenia. Dlaczego nie ma to znaczenia? Wrzućmy na początek ten minus do licznika - otrzymamy wtedy \(\frac{\text{-3}}{\text{4}}\). Zatem z zaznaczonego wcześniej punktu A idziemy o trzy kratki w dół, a następnie o 4 kratki w prawo. Mamy w ten sposób drugi punkt wykresu. Wystarczy teraz połączyć otrzymane punkty i mamy gotowy wykres. Obrazują to poniższe rysunki:
Zobaczmy teraz co się stanie, jeżeli wrzucimy wspomniany minus do mianownika tym razem. Współczynnik kierunkowy zapiszemy wtedy jako \(\frac{3}{-4}\). W takiej sytuacji z punktu A poruszamy się 3 kratki w górę oraz 4 kratki w lewo - otrzymujemy drugi punkt należący do szukanej prostej.
Jak łatwo zauważyć, otrzymaliśmy rzecz jasna dokładnie taki sam wykres naszej funkcji. Widzimy zatem, że nie ma żadnego znaczenia w jaki sposób zapiszemy współczynnik kierunkowy - ważne tylko, aby pamiętać o tych prostych zasadach o których wspomniałem we wpisie.
5.0