Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii na linii prądu dla cieczy idealnej (czyli nielepkiej).
Całkowita energia jednostki masy takiego płynu składa się z energii kinetycznej, potencjalnej i wewnętrznej (ciśnienia) i w każdym punkcie danej linii prądu jest stała.
W tym wpisie pokaże jak łatwo i szybko rozgryźć każde zadanie bazujące na znajomości tego równania.
Przykład - przelewanie wody przez lewar hydrauliczny.
Załóżmy, że musimy przetransportować wodę ze zbiornika górnego do dolnego za pomocą rury. Aby wymusić ruch wody, należy wytworzyć podciśnienie w rurze.
Należy obliczyć wydatek wody (objętościowe natężenie przepływu) oraz ciśnienie panujące w lewarze przy średnicy d= 70mm i podanych wysokościach wody w zbiornikach.
Pierwszą rzeczą, jaką należy wykonać, jest tabelka.
Każda kolumna odnosi się do charakterystycznych przekrojów, w tym zadaniu mamy przekrój 0, 1 i 2.
Każdy wiersz obejmuje składowe sumy występujące w równaniu Bernoulliego (prędkość, ciśnienie i wysokość).
Zanim jednak ją zapiszemy, musimy określić poziom odniesienia, względem którego będziemy mierzyć odległości. Najłatwiej przyjąć poziom najniżej jak to jest możliwe, czyli w naszym wypadku będzie to poziom 1-1.
Zaczynając od prędkości - zawsze przyjmujemy, że prędkość poruszania się lustra wody w zbiorniku jest bardzo mała i w przybliżeniu równa zeru.
Dlatego w przekroju 0-0 zapiszę 0. W przekroju 1-1 i 2-2 na tym etapie nie znamy prędkości, zostawiam więc niewiadome.
Ciśnienie na powierzchni lustra wody jest równe atmosferycznemu.
W przekroju 1-1 ciśnienie będzie równe ciśnieniu atmosferycznemu plus ciśnieniu hydrostatycznemu ( wzór ph=⍴gh) słupa wody o wysokości x. W trzeciej kolumnie zostawiam niewiadome.
Wysokości względem poziomu odniesienia - na tym etapie wartość x jest nieznana.
Gotowa tabelka prezentuje się następująco (niebieskim zaznaczyłam znane wartości, pomarańczowym opisane jakąś zależnością, a czerwonym szukane):
Teraz patrząc na tabelkę, możemy zobaczyć, w której kolumnie występuje ile niewiadomych.
Zapisując jedno równanie Bernoulliego możemy wyznaczyć 1 niewiadomą, dlatego w pierwszym kroku zapiszemy równanie pomiędzy przekrojem 0-0 a 1-1 (1 niewiadoma v1):
Z równania ciągłości wynika, iż prędkość w rurze jest na całej długości stała (przekrój rury jest stały o średnicy d).. Prędkość v2 jest więc równa prędkości w przekroju wylotowym rury 1-1:
Jak widać, została nam już tylko 1 niewiadoma - ciśnienie w kolanie lewara .
Wybieramy więc wygodne dla nas równanie Bernoulliego - pomiędzy przekrojem 0-0 a 2-2.
Można również zapisać równanie między 1-1 a 2-2 - wynik powinien wyjść taki sam.
Dla przećwiczenia polecam rozwiązać je drugim sposobem .
Teraz został nam do policzenia wydatek wody.
Jest on równy iloczynowi prędkości w lewarze oraz pola przekroju rury (oznaczone jako A):
I tym przejrzystym sposobem rozwiązywania zadań z kinematyki płynów chciałam się z Wami podzielić.
Myślę, że o wiele lepiej zebrać wszystkie dane i niewiadome w jednej tabelce i wybierać, pomiędzy którymi przekrojami zapisywać równanie Bernoulliego tak, aby dojść do rozwiązania jak najszybciej.