Jak najszybciej obliczyć zadanie z równaniem Bernoulliego? - Blog | DobryKorepetytor
-15% na kolejny zakup! Dodaj opinię do kursu, a kupon rabatowy wyślemy na Twojego maila!

Udostępnij:

Mechanika Płynów

Jak najszybciej obliczyć zadanie z równaniem Bernoulliego?

W tym wpisie pokaże jak łatwo i szybko rozgryźć każde zadanie bazujące na znajomości Równania Bernoulliego.

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii na linii prądu dla cieczy idealnej (czyli nielepkiej).

Całkowita energia jednostki masy takiego płynu składa się z energii kinetycznej, potencjalnej i wewnętrznej (ciśnienia) i w każdym punkcie danej linii prądu jest stała.

W tym wpisie pokaże jak łatwo i szybko rozgryźć każde zadanie bazujące na znajomości tego równania.

Przykład - przelewanie wody przez lewar hydrauliczny.

Załóżmy, że musimy przetransportować wodę ze zbiornika górnego do dolnego za pomocą rury. Aby wymusić ruch wody, należy wytworzyć podciśnienie w rurze.

Należy obliczyć wydatek wody (objętościowe natężenie przepływu) oraz ciśnienie panujące w lewarze przy średnicy d= 70mm i podanych wysokościach wody w zbiornikach. ‍

Rys. 1 Zadanie z kinematyki płynów - równanie Bernoulliego
Rys. 1 Zadanie z kinematyki płynów - równanie Bernoulliego

Pierwszą rzeczą, jaką należy wykonać, jest tabelka.

Każda kolumna odnosi się do charakterystycznych przekrojów, w tym zadaniu mamy przekrój 0, 1 i 2.

Każdy wiersz obejmuje składowe sumy występujące w równaniu Bernoulliego (prędkość, ciśnienie i wysokość).

Zanim jednak ją zapiszemy, musimy określić poziom odniesienia, względem którego będziemy mierzyć odległości. Najłatwiej przyjąć poziom najniżej jak to jest możliwe, czyli w naszym wypadku będzie to poziom 1-1.

Rys. 2 Przyjęcie poziomu odniesienia
Rys. 2 Przyjęcie poziomu odniesienia

Zaczynając od prędkości - zawsze przyjmujemy, że prędkość poruszania się lustra wody w zbiorniku jest bardzo mała i w przybliżeniu równa zeru.

Dlatego w przekroju 0-0 zapiszę 0. W przekroju 1-1 i 2-2 na tym etapie nie znamy prędkości, zostawiam więc niewiadome.

Ciśnienie na powierzchni lustra wody jest równe atmosferycznemu.

W przekroju 1-1 ciśnienie będzie równe ciśnieniu atmosferycznemu plus ciśnieniu hydrostatycznemu ( wzór ph=⍴gh) słupa wody o wysokości x. W trzeciej kolumnie zostawiam niewiadome.

Wysokości względem poziomu odniesienia - na tym etapie wartość x jest nieznana.

Gotowa tabelka prezentuje się następująco (niebieskim zaznaczyłam znane wartości, pomarańczowym opisane jakąś zależnością, a czerwonym szukane):

Tab.1 Składowe energii linii prądu w poszczególnych przekrojach
Tab.1 Składowe energii linii prądu w poszczególnych przekrojach

Teraz patrząc na tabelkę, możemy zobaczyć, w której kolumnie występuje ile niewiadomych.

Zapisując jedno równanie Bernoulliego możemy wyznaczyć 1 niewiadomą, dlatego w pierwszym kroku zapiszemy równanie pomiędzy przekrojem 0-0 a 1-1 (1 niewiadoma v1):

Rys. 3 Równanie Bernoulliego dla przekroju 0-0 i 1-1
Rys. 3 Równanie Bernoulliego dla przekroju 0-0 i 1-1

Z równania ciągłości wynika, iż prędkość w rurze jest na całej długości stała (przekrój rury jest stały o średnicy d).. Prędkość v2 jest więc równa prędkości w przekroju wylotowym rury 1-1:

Tab.2 Składowe energii linii prądu - II etap zadania
Tab.2 Składowe energii linii prądu - II etap zadania

Jak widać, została nam już tylko 1 niewiadoma - ciśnienie w kolanie lewara.

Wybieramy więc wygodne dla nas równanie Bernoulliego - pomiędzy przekrojem 0-0 a 2-2.

Można również zapisać równanie między 1-1 a 2-2 - wynik powinien wyjść taki sam.

Dla przećwiczenia polecam rozwiązać je drugim sposobem.

Rys. 4 Równanie Bernoulliego dla przekroju 0-0 i 2-2
Rys. 4 Równanie Bernoulliego dla przekroju 0-0 i 2-2

Teraz został nam do policzenia wydatek wody.

Jest on równy iloczynowi prędkości w lewarze oraz pola przekroju rury (oznaczone jako A):

Rys. 5 Obliczenie wydatku wody w lewarze
Rys. 5 Obliczenie wydatku wody w lewarze

I tym przejrzystym sposobem rozwiązywania zadań z kinematyki płynów chciałam się z Wami podzielić.

Myślę, że o wiele lepiej zebrać wszystkie dane i niewiadome w jednej tabelce i wybierać, pomiędzy którymi przekrojami zapisywać równanie Bernoulliego tak, aby dojść do rozwiązania jak najszybciej.

Ostatnia aktualizacja: 26.11.2020
Czy ten artykuł był pomocny?
  2   0